Помогите пожалуйста с решением. Найдите косинус угла между векторами m = 5а + b и n = 2а – b, если a ⊥ b и |a| = |b| = 1.

ОТВЕТ: cos ∠(m, n) = 3/4.

Найдем сначала скалярное произведение векторов m и n:

m·n = (5a + b)·(2a - b) = 10a^2 - 5ab + 2ab - b^2 = 10a^2 - 3ab - b^2

Заметим, что a и b являются ортогональными, поэтому ab = 0. Тогда:

m·n = 10a^2 - b^2

Теперь найдем длины векторов m и n:

|m| = sqrt((5a)^2 + b^2) = sqrt(25a^2 + b^2) = sqrt(26)
|n| = sqrt((2a)^2 + (-b)^2) = sqrt(4a^2 + b^2) = sqrt(5)

Используя формулу для косинуса угла между векторами через их скалярное произведение и длины, получаем:

cos ∠(m, n) = (m·n) / (|m| * |n|) = (10a^2 - b^2) / (sqrt(26) * sqrt(5))

Подставляя a^2 = 1 - b^2 из условия, получаем:

cos ∠(m, n) = (10 - 11b^2) / (sqrt(26) * sqrt(5))

Так как |a| = |b| = 1, то b^2 = 1 - a^2 = 1 - 1 = 0. Подставляя это значение, получаем:

cos ∠(m, n) = (10 - 11*0) / (sqrt(26) * sqrt(5)) = 10 / (sqrt(26) * sqrt(5)) = 2sqrt(13) / 13

Упрощая полученный результат, получаем:

cos ∠(m, n) = 3/4

Таким образом, искомый косинус равен 3/4.