На доске написано 36 различных целых чисел.

Каждое число возвели либо в квадрат,

либо в куб и результат записали вместо первоначального числа. Какое наименьшее количество различных чисел могло оказаться записано на доске?

Запишите подробное решение и ответ.

Рассмотрим возможные варианты возведения чисел в квадрат и куб:

- Число не возводится ни в квадрат, ни в куб (1 вариант).
- Число возводится только в квадрат (1 вариант).
- Число возводится только в куб (1 вариант).
- Число возводится и в квадрат, и в куб (1 вариант).
- Число возводится только в квадрат, но на доске есть как минимум еще одно число, которое возводится только в куб (34 варианта).
- Число возводится только в куб, но на доске есть как минимум еще одно число, которое возводится только в квадрат (34 варианта).

Итого, может быть записано не менее 1+1+1+1+34+34=72 различных чисел.

Однако, если рассмотреть вариант, когда на доске записаны все числа от 1 до 36 включительно, то каждое число будет возводиться либо в квадрат, либо в куб, и количество различных чисел будет равно 36.

Таким образом, наименьшее количество различных чисел, которое могло оказаться записанным на доске, равно 36.