На доске написано 36 различных целых чисел.Каждое число возвели либо в квадрат,либо в куб и результат записали вместо первоначального числа. Какое наименьшее количество различных чисел могло оказаться записано на доске?

Рассмотрим, какие числа могут быть на доске после возведения в квадрат: $0^2=0$, $1^2=1$, $2^2=4$, $3^2=9$, $4^2=16$, $5^2=25$, $6^2=36$. Всего таких чисел 7.

Рассмотрим теперь возведение в куб: $0^3=0$, $1^3=1$, $2^3=8$, $3^3=27$, $4^3=64$, $5^3=125$, $6^3=216$. Всего таких чисел также 7.

Значит, мы можем получить не более $7+7=14$ различных чисел.

Чтобы получить наименьшее количество различных чисел, нужно выбрать 6 чисел, которые можно получить как квадраты, и 6 чисел, которые можно получить как кубы. Например, можно выбрать числа $1, 4, 9, 16, 25, 36$ и числа $0, 1, 8, 27, 64, 125$. Тогда на доске будет 12 различных чисел.