Найдите все значения a, при каждом из которых наибольшее значение выражения (x-a) (6-x) положительно

Для того чтобы наибольшее значение выражения (x-a)(6-x) было положительным, необходимо, чтобы его значение было отрицательным при $x < a$ и $x > 6$, а положительным при $a < x < 6$.

Рассмотрим случай $a > 6$. Тогда $(x-a) < 0$ и $(6-x) < 0$ для любого $x$, и произведение $(x-a)(6-x)$ будет положительным только при $x = a$ или $x = 6$. При этом значение выражения будет равно 0. Значит, $a > 6$ не подходит.

Аналогично, для случая $a < 0$ произведение $(x-a)(6-x)$ будет положительным только при $x = a$ или $x = 6$, и значение выражения будет равно 0. Значит, $a < 0$ тоже не подходит.

Таким образом, остается рассмотреть случай $0 \leq a \leq 6$. В этом случае $(x-a)$ и $(6-x)$ меняют знак при $x = a$ и $x = 6$, и произведение $(x-a)(6-x)$ будет положительным на интервале $(a, 6)$.

Для того чтобы найти значения $a$, при которых наибольшее значение выражения положительно, нужно найти точку максимума на интервале $(a, 6)$. Для этого найдем производную функции $(x-a)(6-x)$:

$(x-a)(6-x)' = -(x-a) + (6-x) = 6 - 2x + a$

Эта функция равна 0 при $x = \frac{a+6}{2}$. Значение выражения в этой точке равно $\frac{(6-a)^2}{4}$.

Таким образом, наибольшее значение выражения будет положительным при $0 \leq a \leq 6$ и $a \neq 3$.

Ответ: $0 \leq a \leq 6$, $a \neq 3$.