Высота правильной шестиугольной пирамиды равна 8 см, а диагональ боковой грани - 13 см. Найдите радиус описанного шара.

Радиус описанной сферы правильной шестиугольной пирамиды можно найти по формуле:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

где $a$ - длина ребра пирамиды.

Нам дана высота пирамиды, а не длина ребра. Но мы можем найти длину ребра, используя диагональ боковой грани. Для этого нам нужно найти длину стороны правильного шестиугольника, который является основанием пирамиды.

Длина стороны правильного шестиугольника равна:

$a = \frac{2d}{\sqrt{3}}$

где $d$ - диагональ правильного шестиугольника.

Мы знаем диагональ боковой грани пирамиды, которая является стороной правильного треугольника со стороной $a$ и диагональю $d$. Мы можем найти длину стороны $a$, используя теорему Пифагора:

$a^2 = d^2 - (\frac{a}{2})^2$

$a^2 = 13^2 - (\frac{a}{2})^2$

$a^2 = 169 - \frac{a^2}{4}$

$\frac{5a^2}{4} = 169$

$a^2 = \frac{676}{5}$

$a = \sqrt{\frac{676}{5}}$

Теперь мы можем найти радиус описанной сферы:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{\frac{676}{5}}\sqrt{3}}{6} = \frac{26}{\sqrt{5}}$

Ответ: радиус описанного шара равен $\frac{26}{\sqrt{5}}$ см.