На товарищеском турнире школьников по шахматам каждый школьник сыграл с каждым другим не более одной партии, кроме того, каждый из них сыграл с приглашённым гроссмейстером не более одной партии. Всего было сыграно 56 партий. Какое наименьшее количество школьников могло участвовать в этом турнире?

Пусть в турнире участвовало $n$ школьников. Тогда каждый школьник должен сыграть $n-1$ партий с другими школьниками. Также каждый школьник может сыграть не более одной партии с гроссмейстером. Если предположить, что каждый школьник сыграл по одной партии с гроссмейстером, то всего было сыграно $n + 1$ партий. Но по условию было сыграно 56 партий, значит, школьники сыграли $56 - (n + 1) = 55 - n$ партий между собой.

Так как каждый школьник должен сыграть $n-1$ партий, то всего партий между школьниками должно быть $\frac{n(n-1)}{2}$. Таким образом, уравнение, описывающее количество партий между школьниками, имеет вид:

$$\frac{n(n-1)}{2} = 55 - n$$

Решив это уравнение, получим:

$$n^2 - n - 110 = 0$$

Решая квадратное уравнение, получим, что $n = 11$ или $n = -10$. Очевидно, что число участников не может быть отрицательным, поэтому наименьшее количество школьников, которые могли участвовать в турнире, равно 11.