При двукратном бросании игральной кости сумма выпавших очков равна 8. Найдите условную вероятность события:

a) в первый раз выпало 3 очка»;

б) при одном из бросков выпало 3 очка»;

в) в первый раз выпало меньше 5 очков>>;

г) во второй раз выпало меньше 2 очков.

Для решения задачи необходимо использовать формулу условной вероятности:

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

где $P(A|B)$ - условная вероятность события $A$ при условии, что произошло событие $B$; $P(A \cap B)$ - вероятность совместного наступления событий $A$ и $B$; $P(B)$ - вероятность наступления события $B$.

а) В первый раз выпало 3 очка. Вероятность этого события равна $P(A) = \frac{1}{6}$, так как на игральной кости 6 граней, и только на одной из них изображено число 3.

Теперь нужно найти вероятность того, что при сумме очков 8 в первый раз выпало 3 очка. Для этого нужно найти вероятность совместного наступления событий «в первый раз выпало 3 очка» и «сумма очков равна 8». Так как сумма очков равна 8, то второй бросок должен дать результат 5. Таким образом, вероятность совместного наступления событий равна $P(A \cap B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$.

Теперь можно найти условную вероятность:

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{36}}{\frac{5}{36}} = \frac{1}{5}$$

б) При одном из бросков выпало 3 очка. Вероятность этого события равна $P(B) = \frac{11}{36}$, так как на первом броске может выпасть любое число, кроме 3 (5 вариантов), а на втором броске должно выпасть число, которое дополнит сумму до 8 (также 5 вариантов).

Теперь нужно найти вероятность того, что при сумме очков 8 выпало 3 очка в одном из бросков. Для этого нужно найти вероятность совместного наступления событий «при одном из бросков выпало 3 очка» и «сумма очков равна 8». Так как сумма очков равна 8, то второй бросок должен дать результат 5. Таким образом, вероятность совместного наступления событий равна $P(A \cap B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} + \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{18}$.

Теперь можно найти условную вероятность:

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{5}{18}}{\frac{11}{36}} = \frac{10}{11}$$

в) В первый раз выпало меньше 5 очков. Вероятность этого события равна $P(C) = \frac{2}{3}$, так как на игральной кости 6 граней, и на 4 из них изображены числа от 1 до 4.

Теперь нужно найти вероятность того, что при сумме очков 8 в первый раз выпало меньше 5 очков. Для этого нужно найти вероятность совместного наступления событий «в первый раз выпало меньше 5 очков» и «сумма очков равна 8». Так как сумма очков равна 8, то второй бросок должен дать результат, который дополнит первый бросок до 8. Таким образом, вероятность совместного наступления событий равна $P(A \cap C) = \frac{2}{6} \cdot \frac{3}{6} + \frac{3}{6} \cdot \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Теперь можно найти условную вероятность:

$$P(A|C) = \frac{P(A \cap C)}{P(C)} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2}$$

г) Во второй раз выпало меньше 2 очков. Вероятность этого события равна $P(D) = \frac{1}{3}$, так как на игральной кости 6 граней, и на 2 из них изображены числа 1 и 2.

Теперь нужно найти вероятность того, что при сумме очков 8 во второй раз выпало меньше 2 очков. Для этого нужно найти вероятность совместного наступления событий «во второй раз выпало меньше 2 очков» и «сумма очков равна 8». Так как сумма очков равна 8, то первый бросок должен дать результат, который дополнит второй бросок до 8. Таким образом, вероятность совместного наступления событий равна $P(B \cap D) = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{3} = \frac{5}{18}$.

Теперь можно найти условную вероятность:

$$P(B|D) = \frac{P(B \cap D)}{P(D)} = \frac{\frac{5}{18}}{\frac{1}{3}} = \frac{5}{6}$$