Решите уравнение подробно пожалуйста: (2x+1)^6=60(8x^3+6x(2x+1))+316

Для решения данного уравнения нужно использовать различные алгебраические методы, включая раскрытие скобок, сокращение подобных слагаемых и перенос всех переменных на одну сторону уравнения. Давайте последовательно выполним все эти действия:

1. Раскрываем скобку (2x+1)^6, используя бином Ньютона или формулу разложения степени:

(2x+1)^6 = C(6,0)*(2x)^6*1^0 + C(6,1)*(2x)^5*1^1 + C(6,2)*(2x)^4*1^2 + C(6,3)*(2x)^3*1^3 + C(6,4)*(2x)^2*1^4 + C(6,5)*(2x)^1*1^5 + C(6,6)*(2x)^0*1^6

где C(n,k) - биномиальный коэффициент "n по k".

2. Упрощаем полученное выражение, используя формулу для биномиальных коэффициентов и свойства степеней:

(2x+1)^6 = 64x^6 + 192x^5 + 240x^4 + 160x^3 + 60x^2 + 12x + 1

3. Подставляем полученное выражение в исходное уравнение:

64x^6 + 192x^5 + 240x^4 + 160x^3 + 60x^2 + 12x + 1 = 60(8x^3+6x(2x+1))+316

4. Раскрываем скобки в правой части уравнения и приводим подобные слагаемые:

64x^6 + 192x^5 + 240x^4 + 160x^3 + 60x^2 + 12x + 1 = 480x^3 + 360x^2 + 60x + 316

5. Переносим все переменные на одну сторону уравнения и упрощаем:

64x^6 + 192x^5 - 240x^4 - 320x^3 + 300x^2 - 48x - 315 = 0

6. Разбиваем полученное уравнение на множители, используя метод подбора корней или алгоритм синтетического деления:

(x-1/2)^2 * (2x+1)^2 * (8x^2+3x-21) = 0

7. Находим корни уравнения, решая полученные квадратные и кубические уравнения:

x1 = 1/2
x2 = -1/2
x3,4 = (-3±sqrt(249))/16

Таким образом, уравнение (2x+1)^6=60(8x^3+6x(2x+1))+316 имеет четыре корня: x1 = 1/2, x2 = -1/2, x3 ≈ -0.948 и x4 ≈ 0.331.