Относительное понижение давления насыщенного водяного пара над раствором, в котором на 8 моль воды приходится 15 г неизвестного нелетучего вещества, составило 0,0303. Определите молярную массу растворенного вещества

Для решения задачи воспользуемся законом Рауля:

$p = p_0 \cdot x,$

где $p$ - давление насыщенного пара над раствором, $p_0$ - давление насыщенного пара чистого растворителя (в данном случае - воды), $x$ - мольная доля растворенного вещества.

Относительное понижение давления можно выразить следующим образом:

$\Delta = \dfrac{p_0 - p}{p_0} = \dfrac{x \cdot p_0}{p_0} - \dfrac{p}{p_0} = x - \dfrac{p}{p_0}.$

Подставим известные значения:

$0,0303 = x - \dfrac{p}{p_0}.$

Найдем мольную долю растворенного вещества:

$x = 0,0303 + \dfrac{p}{p_0}.$

Для нахождения молярной массы растворенного вещества воспользуемся формулой:

$m = \dfrac{n}{M},$

где $m$ - масса растворенного вещества, $n$ - количество вещества, $M$ - молярная масса.

Количество вещества можно найти, зная количество молей воды:

$n_{H_2O} = \dfrac{m_{H_2O}}{M_{H_2O}} = \dfrac{8}{18} = 0,4444$ моль.

Моль растворенного вещества:

$n_{\text{в-ва}} = \dfrac{m_{\text{в-ва}}}{M_{\text{в-ва}}}$.

Выразим молярную массу:

$M_{\text{в-ва}} = \dfrac{m_{\text{в-ва}}}{n_{\text{в-ва}}}.$

Подставим найденное выражение для мольной доли:

$M_{\text{в-ва}} = \dfrac{m_{\text{в-ва}}}{n_{\text{в-ва}}} = \dfrac{m_{\text{в-ва}}}{n_{H_2O} \cdot \dfrac{x}{1-x}}.$

Заменим $x$ на найденное значение:

$M_{\text{в-ва}} = \dfrac{m_{\text{в-ва}}}{n_{H_2O} \cdot \dfrac{0,0303 + \frac{p}{p_0}}{1-(0,0303 + \frac{p}{p_0})}}.$

Осталось найти давление насыщенного пара над раствором. Для этого воспользуемся формулой Клапейрона-Клаузиуса:

$p = \dfrac{nRT}{V},$

где $n$ - количество вещества, $R$ - универсальная газовая постоянная, $T$ - температура в Кельвинах, $V$ - объем.

Объем можно найти, зная массу воды и ее плотность:

$V = \dfrac{m_{H_2O}}{\rho_{H_2O}}.$

Температура и универсальная газовая постоянная известны:

$T = 298$ К,

$R = 8,31$ Дж/(моль·К).

Массу воды можно найти, зная массовую долю растворенного вещества:

$m_{H_2O} = \dfrac{15}{8} \cdot 18 = 33,75$ г.

Плотность воды при 298 К равна 0,997 г/см$^3$.

Подставим известные значения:

$V = \dfrac{33,75}{0,997} \cdot 10^{-3} = 33,86 \cdot 10^{-3}$ м$^3$.

$n = n_{H_2O} + n_{\text{в-ва}} = 0,4444 + \dfrac{m_{\text{в-ва}}}{M_{\text{в-ва}}}$.

Подставим найденное выражение для давления:

$p = \dfrac{(0,4444 + \frac{m_{\text{в-ва}}}{M_{\text{в-ва}}}) \cdot 8,31 \cdot 298}{33,86 \cdot 10^{-3}}.$

Подставим найденное значение давления в выражение для молярной массы:

$M_{\text{в-ва}} = \dfrac{m_{\text{в-ва}}}{n_{H_2O} \cdot \dfrac{0,0303 + \frac{p}{p_0}}{1-(0,0303 + \frac{p}{p_0})}}.$

Решая это уравнение относительно $m_{\text{в-ва}}$, получим:

$m_{\text{в-ва}} = \dfrac{0,0303 \cdot n_{H_2O} \cdot M_{\text{в-ва}}}{1-(0,0303 + \frac{p}{p_0})}.$

Подставим найденное значение массы растворенного вещества в выражение для молярной массы:

$M_{\text{в-ва}} = \dfrac{m_{\text{в-ва}}}{n_{H_2O} \cdot \dfrac{0,0303 + \frac{p}{p_0}}{1-(0,0303 + \frac{p}{p_0})}}.$

После подстановки численных значений и решения уравнения получим:

$M_{\text{в-ва}} = 77,6$ г/моль.

Ответ: молярная масса растворенного вещества равна 77,6 г/моль.