Стороны треугольника равны 4, 5, 6. Найдите наименьшую высоту.

Для нахождения наименьшей высоты треугольника необходимо использовать формулу:

$h=\frac{2S}{a}$

где $h$ - высота, $S$ - площадь треугольника, $a$ - длина основания, на которое опущена высота.

Найдем сначала площадь треугольника по формуле Герона:

$p=\frac{a+b+c}{2}$

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

где $a$, $b$, $c$ - длины сторон треугольника, а $p$ - полупериметр.

Для нашего треугольника:

$p=\frac{4+5+6}{2}=7.5$

$S=\sqrt{7.5(7.5-4)(7.5-5)(7.5-6)}=9.92$

Теперь найдем наименьшую высоту:

$h_1=\frac{2S}{4}=4.96$

$h_2=\frac{2S}{5}=3.97$

$h_3=\frac{2S}{6}=3.31$

Самая маленькая высота равна $h_3=3.31$.