Ученик при умножении двух натуральных чисел, разность которых равна 10, допустил ошибку: в полученном им произведении цифра сотен увеличена на 2. При делении этого произведения на меньший множитель были получены частное 50 и остаток 25. Какие числа умножал ученик?

Пусть меньшее число равно $a$, тогда большее число равно $a+10$. Пусть произведение равно $P$.

Ученик увеличил цифру сотен на 2, значит, изначально цифра сотен была на 2 меньше. То есть, если из произведения вычесть 200, то получится правильный результат умножения:

$$P-200= a(a+10)$$

Далее, мы знаем, что при делении на меньший множитель получается частное 50 и остаток 25. Запишем это в виде уравнения:

$$P = 50a + 25 = 25(2a+1)$$

Подставим это выражение для $P$ в первое уравнение:

$$25(2a+1)-200 = a(a+10)$$

Раскроем скобки:

$$50a - 175 = a^2 + 10a$$

Получим квадратное уравнение:

$$a^2 + 10a - 50a + 175 = 0$$

$$a^2 - 40a + 175 = 0$$

Решим его с помощью формулы дискриминанта:

$$D = 40^2 - 4\cdot 175 = 400$$

$$a_{1,2} = \frac{40\pm\sqrt{400}}{2} = 20\pm 10$$

Меньшее число равно $a=10$, а большее число равно $a+10=20$.

Итак, ученик умножал числа 10 и 20, но допустил ошибку при записи произведения. Если он вычтет из него 200, то получит правильный результат умножения.