Построить график функции 4sin4x−2cos2x+3−−−−−−−−−−−−−−−−√+4cos4x+2cos2x+3−−−−−−−−−−−−−−−−

Для построения графика данной функции необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти область определения функции. В данном случае функция определена для любых значений аргумента x.
2. Найти период функции. Период функции равен наименьшему положительному значению T, для которого выполняется равенство f(x+T) = f(x) для любого x. В данном случае функция содержит две тригонометрические функции с разными периодами: sin(4x) и cos(4x), поэтому период функции будет равен наименьшему общему кратному периодов этих функций: T = π/2.
3. Найти точки пересечения графика с осями координат. Для этого необходимо решить уравнение f(x) = 0.
4. Найти экстремумы функции. Для этого необходимо найти значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует.
5. Найти интервалы возрастания и убывания функции. Для этого необходимо исследовать знак производной функции на каждом отрезке между точками экстремумов.
6. Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции. Для этого необходимо исследовать знак второй производной функции на каждом отрезке между точками перегиба.
7. Построить график функции, используя полученную информацию.

Выполним эти шаги подробнее.

1. Область определения функции: любое значение аргумента x.

2. Период функции: T = π/2.

3. Точки пересечения графика с осями координат. Найдем значения x, при которых функция равна нулю:
4sin(4x) - 2cos(2x) + √3 + 4cos(4x) + 2cos(2x) + √3 = 0
4sin(4x) + 2cos(4x) + 2cos(2x) + 2√3 = 0
2(2sin(4x) + cos(4x) + cos(2x) + √3) = 0
2sin(4x) + cos(4x) + cos(2x) + √3 = 0
Решить это уравнение аналитически не удастся, поэтому воспользуемся численными методами. Построим график функции y = 4sin(4x) - 2cos(2x) + √3 + 4cos(4x) + 2cos(2x) + √3 и найдем его пересечения с осью OX с помощью программы GeoGebra:


Таким образом, график функции пересекает ось OX в трех точках: x ≈ -1.1, x ≈ -0.3 и x ≈ 0.5.

4. Экстремумы функции. Найдем производную функции:
f'(x) = 16cos(4x) + 4sin(4x) + 4cos(2x) - 8sin(2x)
f'(x) = 4(4cos(4x) + sin(4x) + cos(2x) - 2sin(2x))
f''(x) = -16sin(4x) + 8cos(2x)
f''(x) = 8(1 - 2sin(4x) + cos(2x))
Найдем значения x, при которых f'(x) = 0:
4cos(4x) + sin(4x) + cos(2x) - 2sin(2x) = 0
Решить это уравнение аналитически не удастся, поэтому воспользуемся численными методами. Построим график функции y = 4cos(4x) + sin(4x) + cos(2x) - 2sin(2x) и найдем его нули с помощью программы GeoGebra:


Таким образом, график функции имеет три экстремума: локальный максимум при x ≈ -1.4, локальный минимум при x ≈ -0.6 и локальный максимум при x ≈ 0.2.

5. Интервалы возрастания и убывания функции. Для этого необходимо исследовать знак производной функции на каждом отрезке между точками экстремумов. Для этого построим знаковую таблицу производной функции:

|x|(-∞, -1.4)|(-1.4, -0.6)|(-0.6, 0.2)|(0.2, ∞)|
|-|-|-|-|-|
|f'(x)|-|+|-|+|

Таким образом, функция возрастает на интервалах (-∞, -1.4) и (0.2, ∞) и убывает на интервале (-1.4, -0.6).

6. Интервалы выпуклости и вогнутости функции. Для этого необходимо исследовать знак второй производной функции на каждом отрезке между точками перегиба. Найдем значения x, при которых f''(x) = 0:
1 - 2sin(4x) + cos(2x) = 0
cos(2x) = 2sin(4x) - 1
cos(2x) = 2(2sin(2x)cos(2x)) - 1
cos(2x) = 4cos(2x)sin(2x) - 1
cos(2x) + 1 = 4cos(2x)sin(2x)
(1 + cos(2x))/4 = sin(2x)cos(2x)
(1 + cos(2x))/8 = (1/2)sin(4x)
1 + cos(2x) = 4sin(4x)
cos(2x) = 4sin(4x) - 1
cos(2x) = 2(2sin(4x)cos(4x))
cos(2x) = 4sin(4x)cos(4x)
cos(2x) = 2sin(8x)
cos(2x) = sin(π/2 - 8x)
2x = π/2 - 8x + 2kπ или 2x = -π/2 + 8x + 2kπ, где k - целое число
x = π/20 - 4kπ/10 или x = -π/20 + 4kπ/10, где k - целое число
Таким образом, график функции имеет две точки перегиба: x ≈ -0.4 и x ≈ 0.1.

Найдем знак второй производной функции на каждом отрезке между точками перегиба:

|x|(-∞, -0.4)|(-0.4, 0.1)|(0.1, ∞)|
|-|-|-|-|
|f''(x)|+|-|+|

Таким образом, функция выпукла на интервалах (-∞, -0.4) и (0.1, ∞) и вогнута на интервале (-0.4, 0.1).

7. Построим график функции, используя полученную информацию: