Найти объем тела образованного вращением фигуры ограниченной кривой (6-х)у^2=х^2; 0<=х<=4 вокруг оси Ох

Первым шагом необходимо найти кривую, которая ограничивает фигуру. Для этого решим уравнение:

6y^2 = x^2

Теперь необходимо найти границы интегрирования. Для этого решим уравнение:

x = 4

Теперь можем найти объем тела, образованного вращением этой фигуры вокруг оси Ох. Используем формулу:

V = ∫[a, b] πy^2 dx

где a = 0, b = 4.

Заменяем y на √(x^2/6) и получаем:

V = ∫[0, 4] πx^2/6 dx

V = π/18 * ∫[0, 4] x^2 dx

V = π/18 * (4^3/3)

V = 32π/27

Ответ: объем тела, образованного вращением фигуры ограниченной кривой 6y^2 = x^2; 0<=x<=4 вокруг оси Ох равен 32π/27.