- Megamozg 2170 б
- Matalya1 1800 б
- DevAdmin 1685 б
- arkasha_bortnikov 775 б
- Dwayne_Johnson 755 б
Докажите, что при всех истинностных значениях a, b, c и d: a. (¬(𝑎∧𝑏))→((¬𝑏)∧𝑎)=𝑎;
b. ((𝑎→𝑏)∧(¬𝑏))→¬𝑎–И;
c. (𝑎∧(𝑎→(𝑏∨𝑐))∧(𝑏→𝑑)∧(𝑐→𝑑))→𝑑–И.
Для доказательства истинности каждого из этих высказываний, давайте рассмотрим их истинностные таблицы и определения истинностных функций:
a. (¬(𝑎∧𝑏))→((¬𝑏)∧𝑎)=𝑎;
Мы должны доказать, что при всех возможных истинностных значениях a и b, высказывание (¬(𝑎∧𝑏))→((¬𝑏)∧𝑎) и a эквивалентны.
Истинностная таблица для этого высказывания:
a | b | ¬(𝑎∧𝑏) | (¬𝑏)∧𝑎 | (¬(𝑎∧𝑏))→((¬𝑏)∧𝑎)
---|---|---------|-------|---------------------
T | T | F | F | T
T | F | T | T | T
F | T | T | F | F
F | F | T | F | F
Как видите, последний столбец истинностной таблицы совпадает с первым столбцом (a). Это доказывает, что высказывание a является эквивалентным (¬(𝑎∧𝑏))→((¬𝑏)∧𝑎).
b. ((𝑎→𝑏)∧(¬𝑏))→¬𝑎 – И;
Мы должны доказать, что данное высказывание является тавтологией, то есть оно является истинным при всех возможных истинностных значениях a и b.
Истинностная таблица для этого высказывания:
a | b | 𝑎→𝑏 | ¬𝑏 | (𝑎→𝑏)∧(¬𝑏) | ¬𝑎 | ((𝑎→𝑏)∧(¬𝑏))→¬𝑎
---|---|-----|----|-----------|----|---------------
T | T | T | F | F | F | T
T | F | F | T | F | F | T
F | T | T | F | F | T | T
F | F | T | T | T | T | T
Как видите, последний столбец истинностной таблицы состоит только из значений "Истина", что доказывает, что данное высказывание является тавтологией.
c. (𝑎∧(𝑎→(𝑏∨𝑐))∧(𝑏→𝑑)∧(𝑐→𝑑))→𝑑 – И.
Мы должны доказать, что данное высказывание является тавтологией, то есть оно является истинным при всех возможных истинностных значениях a, b, c и d.
Истинностная таблица для этого высказывания:
a | b | c | d | 𝑎→(𝑏∨𝑐) | 𝑏→𝑑 | 𝑐→𝑑 | 𝑎∧(𝑎→(𝑏∨𝑐))∧(𝑏→𝑑)∧(𝑐→𝑑) | (𝑎∧(𝑎→(𝑏∨𝑐))∧(𝑏→𝑑)∧(𝑐→𝑑))→𝑑
---|---|---|---|----------|-----|-----|---------------------------------|----------------------
T | T | T | T | T | T | T | T | T
T | T | T | F | T | F | T | F | T
T | T | F | T | T | T | T | T | T
T | T | F | F | T | F | T | F | T
T | F | T | T | T | T | T | T | T
T | F | T | F | T | T | F | F | T
T | F | F | T | F | T | T | F | T
T | F | F | F | F | T | T | F | T
F | T | T | T | T | T | T | F | T
F | T | T | F | T | F | T | F | T
F | T | F | T | T | T | T | F | T
F | T | F | F | T | F | T | F | T
F | F | T | T | T | T | T | F | T
F | F | T | F | T | T | F | F | T
F | F | F | T | T | T | T | F | T
F | F | F | F | T | T | T | F | T
Как видите, последний столбец истинностной таблицы состоит только из значений "Истина", что доказывает, что данное высказывание является тавтологией.
Рассмотрим два случая:
1. Если (¬𝑎) истинно, то выражение ((¬𝑎)∨(¬𝑏)) тоже истинно, и значит, выражение ((¬𝑏)∧𝑎) также истинно (так как в этом случае (¬𝑏) и 𝑎 равны истине).
2. Если (¬𝑎) ложно, то 𝑎 истинно. В таком случае выражение ((¬𝑎)∨(¬𝑏)) ложно, и значит, выражение ((¬𝑏)∧𝑎) также ложно (так как в этом случае (¬𝑏) ложно).
Таким образом, мы показали, что выражение ((¬𝑎)∨(¬𝑏))→((¬𝑏)∧𝑎) верно для всех истинностных значений 𝑎 и 𝑏.
b. Предположим, что выражения (𝑎→𝑏) и (¬𝑏) истинны. Тогда, согласно определению импликации, это означает, что либо 𝑎 ложно, либо 𝑏 истинно. Но так как мы знаем, что (¬𝑏) истинно, то 𝑏 ложно, а значит, 𝑎 должно быть ложно (иначе (𝑎→𝑏) было бы ложным). Таким образом, мы пришли к выводу, что если выражения (𝑎→𝑏) и (¬𝑏) истинны, то 𝑎 ложно. Это и есть выражение ((𝑎→𝑏)∧(¬𝑏))→¬𝑎, которое мы хотели доказать.
c. Рассмотрим выражение (𝑎∧(𝑎→(𝑏∨𝑐))∧(𝑏→𝑑)∧(𝑐→𝑑))→𝑑. Предположим, что все выражения в скобках истинны. Тогда, согласно определению импликации, это означает, что либо 𝑑 истинно, либо хотя бы одно из 𝑎, 𝑏∨𝑐, 𝑏 и 𝑐 ложно.
Рассмотрим два случая:
1. Если 𝑑 истинно, то выражение (𝑎∧(𝑎→(𝑏∨𝑐))∧(𝑏→𝑑)∧(𝑐→𝑑))→𝑑 верно.
2. Если хотя бы одно из 𝑎, 𝑏∨𝑐, 𝑏 и 𝑐 ложно, то выражение 𝑎→(𝑏∨𝑐) ложно (так как импликация истинна только если антецедент ложен или следствие истинно). Тогда выражение (𝑎∧(𝑎→(𝑏∨𝑐))) ложно. Также, так как 𝑏→𝑑 и 𝑐→𝑑 истинны, то 𝑏 и 𝑐 не могут быть истинными одновременно (иначе 𝑑 было бы ложно). Таким образом, если 𝑏 ложно, то 𝑑 истинно (так как 𝑏→𝑑 истинно), а если 𝑐 ложно, то также 𝑑 истинно (так как (𝑐→𝑑) истинно). Таким образом, мы показали, что выражение (𝑎∧(𝑎→(𝑏∨𝑐))∧(𝑏→𝑑)∧(𝑐→𝑑))→𝑑 верно в любом случае.
Таким образом, мы доказали все три утверждения.
Все предметы 
