Заряженная частица движется по окружности радиусом 1 см в однородном магнитном поле с индукцией 0,1 Тл. Параллельно магнитному полю на короткое время включается электрическое с напряженностью 100 В/м. На какое время следует включить электрическое поле, чтобы кинетическая энергия частицы удвоилась.

Для решения задачи необходимо воспользоваться законом сохранения энергии. Изначально кинетическая энергия частицы равна магнитной работе, которую совершает магнитное поле при движении заряда по окружности:

$W_{\text{маг}} = qBvR = qBR^2\omega,$

где $q$ - заряд частицы, $B$ - индукция магнитного поля, $v$ - скорость частицы, $R$ - радиус окружности, $\omega$ - угловая скорость частицы.

Из закона сохранения энергии следует, что изменение кинетической энергии частицы равно работе электрического поля:

$\Delta W_{\text{к}} = W_{\text{эл}} = qEd,$

где $E$ - напряженность электрического поля, $d$ - путь, пройденный частицей под действием электрического поля.

Так как заряд движется по окружности, то путь $d$ равен длине окружности:

$d = 2\pi R.$

Изменение кинетической энергии частицы можно выразить через ее начальную кинетическую энергию $W_{\text{к0}}$:

$\Delta W_{\text{к}} = W_{\text{к}} - W_{\text{к0}} = \frac{mv^2}{2} - qBR^2\omega,$

где $m$ - масса частицы.

Таким образом, удвоение кинетической энергии частицы означает, что:

$\Delta W_{\text{к}} = W_{\text{к}} - W_{\text{к0}} = \frac{mv^2}{2} - qBR^2\omega = W_{\text{эл}} = qEd = qE2\pi R.$

Подставляя известные значения, получаем:

$\frac{mv^2}{2} - qBR^2\omega = qE2\pi R.$

Найдем угловую скорость $\omega$ через скорость $v$:

$\omega = \frac{v}{R}.$

Подставляя это выражение, получаем:

$\frac{mv^2}{2} - qBvR = qE2\pi R.$

Отсюда выразим время $t$, в течение которого следует включить электрическое поле:

$t = \frac{\Delta W_{\text{к}}}{W_{\text{эл}}} = \frac{2\frac{mv^2}{2} - 2qBR^2\omega}{qE2\pi R} = \frac{mv^2 - qBvR^2}{qE2\pi R}.$

Подставляя известные значения, получаем:

$t = \frac{m}{qE2\pi R}(v^2 - BR^2) = \frac{0.1\cdot10^{-3}\cdot(3\cdot10^8)^2\cdot10^{-31}}{100\cdot2\pi\cdot10^{-2}}\cdot(3\cdot10^8)^2\cdot10^{-4} \approx 1.5\cdot10^{-10}\,\text{с}.$

Таким образом, электрическое поле следует включить на время около $1.5\cdot10^{-10}\,\text{с}$, чтобы удвоить кинетическую энергию частицы.