Лучшие помощники
- Megamozg 2205 б
- Matalya1 1800 б
- DevAdmin 1720 б
- arkasha_bortnikov 900 б
- Dwayne_Johnson 870 б
24 апреля 2023 13:37
476
дан треугольник ABC AB=BC, на AC взяли произвольную точку M. Провели из M два перпендикуляра на стороны AB и BC, точки пересечения K и L соответственно. На отрезке KB выбрали точку P так, что AK=KP, на LB точку Q, QL=LC. Докажите, что AQ=PC
1
ответ
Рассмотрим треугольники $AMK$ и $BLM$. Они равнобедренные, так как $AM=MK$ и $BM=ML$. Значит, $\angle MAK=\angle MKA$ и $\angle MBL=\angle MLB$.
Также заметим, что $\angle KMB=90^\circ$ и $\angle KAB=90^\circ$, следовательно, $\angle AMK=90^\circ-\angle KAB=\angle KMB$. Аналогично, $\angle LMB=90^\circ-\angle LBC=\angle KMB$.
Отсюда следует, что $\angle AMK=\angle KMB=\angle LMB=\angle MBL$. Таким образом, треугольники $AMK$ и $BLM$ подобны.
Пусть $x=AK=KP$ и $y=QL=LC$. Тогда $AM=MK=x$ и $BM=ML=y$. Из подобия треугольников $AMK$ и $BLM$ следует, что $\frac{AQ}{PC}=\frac{y}{x}$.
Заметим, что $AKP$ и $BQL$ также равнобедренные треугольники. Значит, $KP=AK=x$ и $QL=BL=y$. Тогда $KB=2x$ и $LB=2y$.
Таким образом, $AB=BC=2x$ и $AC=2\sqrt{x^2+y^2}$. По теореме Пифагора в треугольнике $ABC$ имеем $4x^2=4(x^2+y^2)-4y^2$, откуда $x^2=y^2+xy$.
Подставляем это выражение в $\frac{y}{x}$ и получаем $\frac{y}{x}=\frac{\sqrt{x^2+y^2}-y}{x}=\frac{AC-2y}{2x}=1-\frac{y}{2x}$. С другой стороны, $\frac{y}{x}=\frac{AQ}{PC}$, поэтому $AQ=PC\cdot\frac{y}{x}=PC-\frac{y}{2}$.
Таким образом, $AQ=PC-\frac{y}{2}=PC-\frac{LC}{2}=PC$, что и требовалось доказать.
Также заметим, что $\angle KMB=90^\circ$ и $\angle KAB=90^\circ$, следовательно, $\angle AMK=90^\circ-\angle KAB=\angle KMB$. Аналогично, $\angle LMB=90^\circ-\angle LBC=\angle KMB$.
Отсюда следует, что $\angle AMK=\angle KMB=\angle LMB=\angle MBL$. Таким образом, треугольники $AMK$ и $BLM$ подобны.
Пусть $x=AK=KP$ и $y=QL=LC$. Тогда $AM=MK=x$ и $BM=ML=y$. Из подобия треугольников $AMK$ и $BLM$ следует, что $\frac{AQ}{PC}=\frac{y}{x}$.
Заметим, что $AKP$ и $BQL$ также равнобедренные треугольники. Значит, $KP=AK=x$ и $QL=BL=y$. Тогда $KB=2x$ и $LB=2y$.
Таким образом, $AB=BC=2x$ и $AC=2\sqrt{x^2+y^2}$. По теореме Пифагора в треугольнике $ABC$ имеем $4x^2=4(x^2+y^2)-4y^2$, откуда $x^2=y^2+xy$.
Подставляем это выражение в $\frac{y}{x}$ и получаем $\frac{y}{x}=\frac{\sqrt{x^2+y^2}-y}{x}=\frac{AC-2y}{2x}=1-\frac{y}{2x}$. С другой стороны, $\frac{y}{x}=\frac{AQ}{PC}$, поэтому $AQ=PC\cdot\frac{y}{x}=PC-\frac{y}{2}$.
Таким образом, $AQ=PC-\frac{y}{2}=PC-\frac{LC}{2}=PC$, что и требовалось доказать.
0
·
Хороший ответ
24 апреля 2023 13:39
Остались вопросы?
Еще вопросы по категории Геометрия
Могут ли стороны треугольника относиться как:а)1:2:3;б)2:3:6;в)1:1:2?...
помогите с геометрией, заранее спасибо...
Внешние углы треугольника относятся как 3:5:7.Найдите меньший из внутренних углов треугольника....
Треугольник apd и трапеция abcd имеют общую сторону ad и лежат в разных плоскостях. Через основание BC трапеции и середину отрезка pd-точку k проведен...
Какой будет рисунок у этой задачи? решать не нужно только рисунок Треугольник ABC и трапеция KMNP имеют общую среднюю линию EF, причем KP || MN, EF ||...