Лучшие помощники
- Megamozg 2190 б
- Matalya1 1800 б
- DevAdmin 1695 б
- arkasha_bortnikov 860 б
- Dwayne_Johnson 845 б
24 апреля 2023 13:37
378
дан треугольник ABC AB=BC, на AC взяли произвольную точку M. Провели из M два перпендикуляра на стороны AB и BC, точки пересечения K и L соответственно. На отрезке KB выбрали точку P так, что AK=KP, на LB точку Q, QL=LC. Докажите, что AQ=PC
1
ответ
Рассмотрим треугольники $AMK$ и $BLM$. Они равнобедренные, так как $AM=MK$ и $BM=ML$. Значит, $\angle MAK=\angle MKA$ и $\angle MBL=\angle MLB$.
Также заметим, что $\angle KMB=90^\circ$ и $\angle KAB=90^\circ$, следовательно, $\angle AMK=90^\circ-\angle KAB=\angle KMB$. Аналогично, $\angle LMB=90^\circ-\angle LBC=\angle KMB$.
Отсюда следует, что $\angle AMK=\angle KMB=\angle LMB=\angle MBL$. Таким образом, треугольники $AMK$ и $BLM$ подобны.
Пусть $x=AK=KP$ и $y=QL=LC$. Тогда $AM=MK=x$ и $BM=ML=y$. Из подобия треугольников $AMK$ и $BLM$ следует, что $\frac{AQ}{PC}=\frac{y}{x}$.
Заметим, что $AKP$ и $BQL$ также равнобедренные треугольники. Значит, $KP=AK=x$ и $QL=BL=y$. Тогда $KB=2x$ и $LB=2y$.
Таким образом, $AB=BC=2x$ и $AC=2\sqrt{x^2+y^2}$. По теореме Пифагора в треугольнике $ABC$ имеем $4x^2=4(x^2+y^2)-4y^2$, откуда $x^2=y^2+xy$.
Подставляем это выражение в $\frac{y}{x}$ и получаем $\frac{y}{x}=\frac{\sqrt{x^2+y^2}-y}{x}=\frac{AC-2y}{2x}=1-\frac{y}{2x}$. С другой стороны, $\frac{y}{x}=\frac{AQ}{PC}$, поэтому $AQ=PC\cdot\frac{y}{x}=PC-\frac{y}{2}$.
Таким образом, $AQ=PC-\frac{y}{2}=PC-\frac{LC}{2}=PC$, что и требовалось доказать.
Также заметим, что $\angle KMB=90^\circ$ и $\angle KAB=90^\circ$, следовательно, $\angle AMK=90^\circ-\angle KAB=\angle KMB$. Аналогично, $\angle LMB=90^\circ-\angle LBC=\angle KMB$.
Отсюда следует, что $\angle AMK=\angle KMB=\angle LMB=\angle MBL$. Таким образом, треугольники $AMK$ и $BLM$ подобны.
Пусть $x=AK=KP$ и $y=QL=LC$. Тогда $AM=MK=x$ и $BM=ML=y$. Из подобия треугольников $AMK$ и $BLM$ следует, что $\frac{AQ}{PC}=\frac{y}{x}$.
Заметим, что $AKP$ и $BQL$ также равнобедренные треугольники. Значит, $KP=AK=x$ и $QL=BL=y$. Тогда $KB=2x$ и $LB=2y$.
Таким образом, $AB=BC=2x$ и $AC=2\sqrt{x^2+y^2}$. По теореме Пифагора в треугольнике $ABC$ имеем $4x^2=4(x^2+y^2)-4y^2$, откуда $x^2=y^2+xy$.
Подставляем это выражение в $\frac{y}{x}$ и получаем $\frac{y}{x}=\frac{\sqrt{x^2+y^2}-y}{x}=\frac{AC-2y}{2x}=1-\frac{y}{2x}$. С другой стороны, $\frac{y}{x}=\frac{AQ}{PC}$, поэтому $AQ=PC\cdot\frac{y}{x}=PC-\frac{y}{2}$.
Таким образом, $AQ=PC-\frac{y}{2}=PC-\frac{LC}{2}=PC$, что и требовалось доказать.
0
·
Хороший ответ
24 апреля 2023 13:39
Остались вопросы?
Еще вопросы по категории Геометрия
Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге, клетками которой являются квадраты...
Какие из следующих утверждений верны? 1) Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треуг...
Геометрия 7 класс. Вопросы для повторения к главе II. Помогите плес...
1.PE иMF-высоты треугольника MNP.MF пересекает PE в точке О.Какие из высказываний верны: а)ENP~FNM б)MFP~PEM в)MNP~MOP г)MEO~PFO...
Один из углов равнобедренного треугольника равен 100 градусам. Найти другие углы....
Все предметы