Основаниями усечëнной пирамиды являются правильные треугольники со сторонами 5 см и 3 см соответственно. Одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно к плоскостям оснований и равно 1 см. Найдите площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.

Пусть высота усеченной пирамиды равна $h$, а боковое ребро, перпендикулярное к основаниям, равно $a=1$ см. Так как основания пирамиды являются правильными треугольниками, то их высоты равны $h_1 = \sqrt{3}/2 \cdot a$ и $h_2 = \sqrt{3}/2 \cdot 5$ см соответственно.

Рассмотрим правильный треугольник со стороной 3 см. Он разбивается высотой на два равнобедренных треугольника со сторонами 1,5 см, 1,5 см и $h_1$ см. По теореме Пифагора находим, что основание каждого из этих треугольников равно $\sqrt{3}/2 \cdot 3$ см.

Аналогично рассматриваем правильный треугольник со стороной 5 см. Он разбивается высотой на два равнобедренных треугольника со сторонами 2,5 см, 2,5 см и $h_2$ см. По теореме Пифагора находим, что основание каждого из этих треугольников равно $\sqrt{3}/2 \cdot 5$ см.

Таким образом, площадь боковой поверхности усеченной пирамиды равна сумме площадей боковых поверхностей двух равнобедренных треугольников со сторонами $\sqrt{3}/2 \cdot 3$, $\sqrt{3}/2 \cdot 5$ и $h_1$, $h_2$ соответственно. Используя формулу площади равнобедренного треугольника $S = \frac{1}{2}bh$, получаем:

$$S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3}/2 \cdot 3 \cdot h_1 + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3}/2 \cdot 5 \cdot h_2 = \frac{3\sqrt{3}}{4} \cdot h_1 + \frac{5\sqrt{3}}{4} \cdot h_2.$$

Подставляя значения $h_1$ и $h_2$, получаем:

$$S = \frac{3\sqrt{3}}{4} \cdot \sqrt{3}/2 \cdot 1 + \frac{5\sqrt{3}}{4} \cdot \sqrt{3}/2 \cdot 5 = \frac{15\sqrt{3}}{4} + \frac{75\sqrt{3}}{4} = \frac{90\sqrt{3}}{4} = \boxed{\frac{45\sqrt{3}}{2}} \approx 38,93 \text{ см}^2.$$