Из точки С к плоскости α проведена наклонная СD =

7 см, проекция этой

наклонной на плоскости α равна 1 см. Найти расстояние от точки С до плоскости α.

Расстояние от точки С до плоскости α равно отношению объема параллелепипеда, натянутого на вектор нормали к плоскости α и на вектор, соединяющий точку С с проекцией СD на плоскости α, к длине вектора нормали к плоскости α.

Пусть вектор нормали к плоскости α имеет координаты (a, b, c), а вектор, соединяющий точку С с проекцией СD на плоскости α, имеет координаты (1, 0, -6). Тогда объем параллелепипеда, натянутого на эти векторы, равен |a·0·(-6) + b·(-6)·1 + c·1·0 - a·1·0 - b·0·(-6) - c·(-6)·0| = |-6b - a|.

Длина вектора нормали к плоскости α равна sqrt(a^2 + b^2 + c^2).

Таким образом, расстояние от точки С до плоскости α равно |a·0·(-6) + b·(-6)·1 + c·1·0 - a·1·0 - b·0·(-6) - c·(-6)·0| / sqrt(a^2 + b^2 + c^2) = |6b + a| / sqrt(a^2 + b^2 + c^2).

Осталось найти коэффициенты a, b и c. Поскольку точка С не задана, можно считать, что плоскость α проходит через начало координат. Тогда уравнение плоскости α имеет вид ax + by + cz = 0. Так как проекция СD на плоскости α равна 1 см, то CD параллельна плоскости α и ее направляющий вектор имеет координаты (1, 0, -6). Значит, вектор нормали к плоскости α также должен быть перпендикулярен вектору (1, 0, -6), то есть иметь координаты (b, 0, -a). Подставляя эти координаты в уравнение плоскости α, получаем -ab + cz = 0. Выберем произвольное ненулевое значение c, например, c=1. Тогда из уравнения -ab + cz = 0 следует, что b=a. Таким образом, можно выбрать любое значение a (кроме a=0), например, a=1, и тогда b=1, c=1.

Итак, вектор нормали к плоскости α имеет координаты (1, 1, 1), а вектор, соединяющий точку С с проекцией СD на плоскости α, имеет координаты (1, 0, -6). Расстояние от точки С до плоскости α равно |6b + a| / sqrt(a^2 + b^2 + c^2) = |6 + 1| / sqrt(3) = 7 / sqrt(3) см.