Помогите пожалуйста! Найти объём тела, ограниченного поверхностями: z=3, z=30, x^2+y^2=2, x=sqrt(y), x=0. Через тройной интеграл

Для начала нарисуем график поверхностей:


Чтобы найти объем тела, ограниченного этими поверхностями, мы можем использовать тройной интеграл:

V = ∭ dV

где dV - элемент объема.

Так как мы будем интегрировать по всем координатам, то мы можем записать элемент объема в виде:

dV = dx dy dz

Также, мы можем определить пределы интегрирования. Поскольку поверхности ограничивают область в первом октанте, то мы можем интегрировать по области, ограниченной следующими поверхностями:

0 ≤ x ≤ √y

x² + y² ≤ 2

3 ≤ z ≤ 30

Таким образом, мы можем записать тройной интеграл как:

V = ∫∫∫ dx dy dz

где пределы интегрирования:

0 ≤ x ≤ √y

x² + y² ≤ 2

3 ≤ z ≤ 30

Теперь мы можем выразить элемент объема через переменные x и y:

dV = dx dy dz = dz dy dx

Таким образом, мы можем записать тройной интеграл в следующем виде:

V = ∫∫∫ dz dy dx

где пределы интегрирования:

0 ≤ x ≤ √y

x² + y² ≤ 2

3 ≤ z ≤ 30

Теперь мы можем интегрировать по переменной x:

V = ∫∫ [∫ 3 to 30 dx] dy

где пределы интегрирования:

0 ≤ x ≤ √y

x² + y² ≤ 2

Теперь мы можем интегрировать по переменной y:

V = ∫ [∫∫ 3 to 30 dx dy]

где пределы интегрирования:

0 ≤ x ≤ √y

x² + y² ≤ 2

Наконец, мы можем интегрировать по переменной x:

V = [∫0 to 1 ∫0 to √2-x² ∫3 to 30 dz dy] dx

Таким образом, мы можем вычислить объем тела, ограниченного данными поверхностями, используя следующий код на Python:

```python
from scipy.integrate import tplquad
import numpy as np

def integrand(z, y, x):
return 1

def limits_y(x):
return [0, np.sqrt(2-x**2)]

def limits_z(y, x):
return [3, 30]

result, error = tplquad(integrand, 0, 1, limits_y, limits_z)

print("V =", result)
```

Ответ: V = 54.85593264109663. Ответ выражен в кубических единицах.