Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды слу­жит пря­мо­уголь­ник, одна бо­ко­вая грань пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния, а три дру­гие бо­ко­вые грани на­кло­не­ны к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом 60°. Вы­со­та пи­ра­ми­ды равна 6. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды.

Объем пирамиды можно найти по формуле: V = (1/3) * S * h, где S - площадь основания, h - высота пирамиды.

Площадь основания равна площади прямоугольника, на котором основана пирамида. Пусть длина прямоугольника равна a, а ширина равна b. Тогда площадь основания равна S = a * b.

Высота пирамиды равна 6.

Так как три боковые грани находятся под углом 60° к плоскости основания, то они являются равносторонними треугольниками. Пусть длина стороны такого треугольника равна c. Тогда высота такого треугольника равна h' = (c * sqrt(3))/2.

Таким образом, площадь каждой боковой грани равна S' = (1/2) * c * h' = (1/2) * c * (c * sqrt(3))/2 = (c^2 * sqrt(3))/4.

Всего у пирамиды четыре боковые грани, поэтому площадь всех боковых граней равна S' * 4 = c^2 * sqrt(3).

Таким образом, объем пирамиды равен:
V = (1/3) * S * h = (1/3) * a * b * 6 = 2 * a * b.

Осталось найти длину стороны треугольника c. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной длины основания a/2 и стороной треугольника c. Так как боковые грани являются равносторонними треугольниками, то сторона треугольника c равна a/2 * sqrt(3).

Таким образом, объем пирамиды равен:
V = 2 * a * b = 2 * a * (a/2 * sqrt(3)) = a^2 * sqrt(3).

Осталось найти длину стороны a. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, стороной треугольника c и половиной длины основания b/2. Тогда a^2 = (b/2)^2 + c^2.

Так как c = a/2 * sqrt(3), то c^2 = (a^2 * 3)/4. Подставим это выражение в предыдущее уравнение и получим:
a^2 = (b/2)^2 + (a^2 * 3)/4.

Решая это уравнение относительно a, получаем:
a = (b/2) * sqrt(4/3).

Таким образом, объем пирамиды равен:
V = a^2 * sqrt(3) = ((b/2) * sqrt(4/3))^2 * sqrt(3) = (b^2 * sqrt(3))/3.

Итак, объем пирамиды равен (b^2 * sqrt(3))/3. Осталось найти длины сторон основания b и a.

Так как одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, то она является прямоугольным треугольником. Пусть катеты этого треугольника равны b и a/2. Тогда гипотенуза равна c = a/2 * sqrt(3). Так как гипотенуза равна боковой стороне основания, то b = c/sqrt(3) = a/2.

Таким образом, длина стороны основания равна b = a/2.

Подставляя это выражение для b в формулу для объема пирамиды, получаем:
V = (b^2 * sqrt(3))/3 = ((a/2)^2 * sqrt(3))/3 = (a^2 * sqrt(3))/12.

Итак, объем пирамиды равен (a^2 * sqrt(3))/12. Осталось найти длину стороны основания a.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, стороной треугольника c и половиной длины основания b/2. Тогда a^2 = (b/2)^2 + c^2.

Так как c = a/2 * sqrt(3), то c^2 = (a^2 * 3)/4. Подставим это выражение в предыдущее уравнение и получим:
a^2 = (b/2)^2 + (a^2 * 3)/4.

Решая это уравнение относительно a, получаем:
a = (b/2) * sqrt(4/3).

Таким образом, длина стороны основания равна a = 2 * b/sqrt(3).

Итак, объем пирамиды равен:
V = (a^2 * sqrt(3))/12 = (4 * b^2 * sqrt(3))/12 = (b^2 * sqrt(3))/3.

Ответ: объем пирамиды равен (b^2 * sqrt(3))/3.