В треугольнике MNK проведены высоты КА, NC и МВ, пересекающиеся в точке О. Найдите отрезок NO, если CK = 15 см, ОС = 8 см, AN = 5 см.

Для решения задачи воспользуемся свойством о том, что в треугольнике высота, проведенная к стороне, делит эту сторону на два отрезка, пропорциональных друг другу и катетам, прилегающим к этой стороне.

Таким образом, мы можем записать:

$\frac{NO}{OC} = \frac{AN}{NC}$

$\frac{NO}{8} = \frac{5}{NC}$

Аналогично, для треугольников КОМ и КОА можем записать:

$\frac{OM}{OC} = \frac{CK}{NC}$

$\frac{OM}{8} = \frac{15}{NC}$

$\frac{AM}{AN} = \frac{OM}{OK}$

$\frac{AM}{5} = \frac{OM}{OK}$

Так как точка О является точкой пересечения высот, то сумма площадей треугольников МОК, ОКА и ОНС равна площади треугольника MNK:

$\frac{1}{2} \cdot CK \cdot OM + \frac{1}{2} \cdot AN \cdot OM + \frac{1}{2} \cdot OC \cdot OS = \frac{1}{2} \cdot NK \cdot MN$

$7OM = \frac{1}{2} \cdot NK \cdot MN$

$OM = \frac{1}{14} \cdot NK \cdot MN$

Заменяем OM в уравнениях выше:

$\frac{5}{NC} = \frac{OM}{8} = \frac{15}{NC}$

$OM = \frac{120}{NC}$

$\frac{AM}{5} = \frac{OM}{OK}$

$OM = \frac{AM \cdot OK}{5}$

$\frac{120}{NC} = \frac{AM \cdot OK}{5}$

$OK = \frac{24 \cdot NC}{AM}$

Заменяем OK в уравнении для NO:

$\frac{NO}{8} = \frac{5}{NC}$

$NO = \frac{40}{NC}$

$\frac{120}{NC} = \frac{24 \cdot NC \cdot 5}{AM \cdot 5}$

$NC^2 = \frac{AM \cdot 120}{24} = 5AM$

$NC = \sqrt{5AM}$

$NO = \frac{40}{\sqrt{5AM}}$

Осталось найти значение AM. Для этого воспользуемся формулой площади треугольника MNK:

$S_{MNK} = \frac{1}{2} \cdot NK \cdot MN = \frac{1}{2} \cdot AN \cdot CK$

$S_{MNK} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 15 = \frac{75}{2}$

$S_{MNK} = \frac{1}{2} \cdot NK \cdot MN = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{NC^2 - CK^2} \cdot \sqrt{NC^2 - AN^2}$

$S_{MNK} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5AM - 225} \cdot \sqrt{5AM - 25}$

$\frac{75}{2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5AM - 225} \cdot \sqrt{5AM - 25}$

$75 = \sqrt{(5AM - 225) \cdot (5AM - 25)}$

$5625 = 25AM^2 - 1250AM + 11250$

$25AM^2 - 1250AM + 5625 = 0$

$AM^2 - 50AM + 225 = 0$

$(AM - 25)^2 = 0$

$AM = 25$

Теперь мы можем найти значение NO:

$NO = \frac{40}{\sqrt{5AM}} = \frac{40}{\sqrt{125}} = \frac{8\sqrt{5}}{5}$

Ответ: $NO = \frac{8\sqrt{5}}{5}$ см.