Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 16, а боковые рёбра равны 2√65. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Пусть высота пирамиды равна $h$, а сторона основания равна $a$. Так как пирамида правильная, то её высота проходит через центр основания и делит его на две равные части. Тогда можно нарисовать высоту и боковое ребро, образуя прямоугольный треугольник с катетами $h/2$ и $a/2$. По теореме Пифагора находим гипотенузу:
$$
\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 = \left(2\sqrt{65}\right)^2.
$$
Решаем уравнение относительно $h$:
$$
\frac{a^2}{4} + \frac{h^2}{4} = 260 \quad \Rightarrow \quad h = 4\sqrt{65 - \frac{a^2}{16}}.
$$
Теперь можно найти площадь боковой поверхности пирамиды. Она состоит из четырёх равных равнобедренных треугольников, каждый из которых имеет боковое ребро в качестве основания и высоту, равную половине высоты пирамиды. Таким образом, площадь боковой поверхности равна
$$
4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot 4\sqrt{65 - \frac{a^2}{16}} = 2a\sqrt{65 - \frac{a^2}{16}}.
$$
Подставляем $a = 16$ и получаем ответ:
$$
2 \cdot 16 \cdot \sqrt{65 - \frac{16^2}{16^2}} = 2 \cdot 16 \cdot \sqrt{65 - 1} = 30\sqrt{255}.
$$
Таким образом, площадь боковой поверхности равна $30\sqrt{255}$.