Треугольник АВС- прямоугольный и равнобедренный с прямым углом С и гипотенузой 10 см.

Отрезок СМ перпендикулярен плоскости треугольника. Расстояние от точки М до прямой АВ

равно 6 см. Найдите длину отрезка СМ.

Поскольку треугольник АВС равнобедренный, то сторона АС и сторона ВС равны между собой. Также, по теореме Пифагора, мы знаем, что $AB^2 + BC^2 = AC^2$. Подставим известные значения: $AB = BC$, $AC = 10$ и получим $2AB^2 = 100$, откуда $AB = BC = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.

Пусть точка $O$ - середина стороны $AB$. Тогда $OM = 6$ и $OA = OB = \frac{AB}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$. Построим перпендикуляр $MN$ к $AB$. Тогда $ON = \sqrt{OM^2 - MN^2} = \sqrt{6^2 - x^2}$, где $x$ - длина отрезка $MN$.

Заметим, что треугольник $AON$ подобен треугольнику $ABC$, так как угол $OAN$ является общим, а угол $AON$ прямой. Значит, $\frac{OA}{AB} = \frac{ON}{AC}$, откуда $\frac{\frac{5\sqrt{2}}{2}}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6^2 - x^2}}{10}$.

Решая уравнение относительно $x$, получаем $x = \sqrt{6^2 - (\frac{5\sqrt{2}}{2})^2} = \frac{\sqrt{116}}{2}$. Таким образом, длина отрезка $CM$ равна $CN - MN = AC \cdot \frac{AB}{2AC} - x = \frac{5\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{116}}{2} = \frac{5\sqrt{2} - \sqrt{116}}{2}$. Округлим до двух знаков после запятой: $CM \approx 1.32$ см.