В кристалле теллурида свинца n-типа при температуре 0 К наблюдается эффект Шубникова- де Гааза. Магнитное поле направлено так, что наблюдается одна частота (один период осцилляций магнитосопротивления равный 0,05 Тл-1). Чему равна концентрация электронов? В теллуриде свинца минимумы зоны проводимости расположены в точках L (направления типа [111] в первой зоне Бриллюэна). Поверхности постоянной энергии вблизи минимумов зоны проводимости — эллипсоиды вращения. Продольная эффективная масса равна 0,24m0, поперечная эффективная масса — 0,024m0.

Для решения этой задачи нам понадобится формула для частоты осцилляций магнитосопротивления в эффекте Шубникова-де Гааза:

$f = \frac{S}{\pi e}\frac{B}{\hbar}$,

где $S$ - площадь поперечного сечения кристалла, $e$ - заряд электрона, $B$ - магнитное поле, $\hbar$ - постоянная Планка.

Также нам понадобятся формулы для эффективной массы вдоль и поперек направлений:

$m_l^* = \frac{\hbar^2}{\frac{\partial^2 E}{\partial k_l^2}}$,

$m_t^* = \frac{\hbar^2}{\frac{\partial^2 E}{\partial k_t^2}}$,

где $E$ - энергия электрона в зоне проводимости, $k_l$ - волновой вектор вдоль направления минимума зоны проводимости, $k_t$ - волновой вектор поперек направления минимума зоны проводимости.

Так как эллипсоиды вращения, то $k_l = k_t = k$, где $k$ - модуль волнового вектора.

Концентрация электронов определяется формулой:

$n = \frac{2}{(2\pi)^3}\int f(E)\,d^3k$,

где $f(E)$ - функция распределения Ферми-Дирака.

Сначала найдем модуль волнового вектора $k$:

$k = \frac{\pi}{a}(1,1,1)$,

где $a$ - постоянная решетки.

Затем найдем эффективную массу вдоль и поперек направлений:

$m_l^* = \frac{\hbar^2}{\frac{\partial^2 E}{\partial k_l^2}} = \frac{\hbar^2}{\frac{\partial^2 E}{\partial k^2}} = \frac{\hbar^2}{\frac{\partial^2}{\partial k^2}(\hbar^2 k^2/2m_l^*)} = \frac{\hbar^2}{\hbar^2/m_l^*} = m_l^*$,

$m_t^* = \frac{\hbar^2}{\frac{\partial^2 E}{\partial k_t^2}} = \frac{\hbar^2}{\frac{\partial^2 E}{\partial k^2}} = \frac{\hbar^2}{\frac{\partial^2}{\partial k^2}(\hbar^2 k^2/2m_t^*)} = \frac{\hbar^2}{\hbar^2/m_t^*} = m_t^*$.

Теперь можем найти площадь поперечного сечения кристалла:

$S = \frac{\pi}{4}\sqrt{\frac{\hbar^2}{m_l^*}\frac{\hbar^2}{m_t^*}} = \frac{\pi}{4}\sqrt{\frac{\hbar^4}{m_l^*m_t^*}} = \frac{\pi\hbar^2}{4}\sqrt{\frac{m_l^*}{m_t^*}}$.

Подставляем все известные значения в формулу для частоты осцилляций магнитосопротивления:

$f = \frac{S}{\pi e}\frac{B}{\hbar} = \frac{\pi\hbar^2}{4\pi e\hbar}\sqrt{\frac{m_l^*}{m_t^*}}\frac{B}{\hbar} = \frac{\hbar}{4\pi e}\sqrt{\frac{m_l^*}{m_t^*}}B$.

Теперь можно найти концентрацию электронов:

$n = \frac{2}{(2\pi)^3}\int f(E)\,d^3k = \frac{2}{(2\pi)^3}\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^{k_{max}} f(E)\,k^2\sin\theta\,dk\,d\theta\,d\phi$,

где $k_{max}$ - максимальное значение модуля волнового вектора, которое можно найти из условия $E(k_{max}) = E_F$, где $E_F$ - энергия Ферми.

Функция распределения Ферми-Дирака имеет вид:

$f(E) = \frac{1}{1 + e^{(E - E_F)/k_BT}}$,

где $k_B$ - постоянная Больцмана, $T$ - температура.

Для теллурида свинца при температуре 0 К функция распределения Ферми-Дирака равна 1 для энергий меньше энергии Ферми и равна 0 для энергий больше энергии Ферми. Поэтому интегрирование можно проводить только в пределах от 0 до $k_{max}$, где $E(k_{max}) = E_F$.

Энергия электрона в зоне проводимости имеет вид:

$E(k) = \frac{\hbar^2 k^2}{2}\left(\frac{1}{m_l^*} + \frac{2}{m_t^*}\right)$.

Тогда условие $E(k_{max}) = E_F$ приводит к следующему выражению для $k_{max}$:

$k_{max} = \sqrt{\frac{2m_l^*m_t^*}{m_l^* + 2m_t^*}\frac{E_F}{\hbar^2}}$.

Подставляем все известные значения и получаем:

$k_{max} = \sqrt{\frac{2\cdot0,24m_0\cdot0,024m_0}{0,24m_0 + 2\cdot0,024m_0}\frac{E_F}{\hbar^2}} = \sqrt{\frac{0,048}{1,608}\frac{E_F}{\hbar^2}}$.

Теперь можем вычислить концентрацию электронов:

$n = \frac{2}{(2\pi)^3}\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^{k_{max}} f(E)\,k^2\sin\theta\,dk\,d\theta\,d\phi = \frac{1}{3\pi^2}\sqrt{\frac{m_l^*}{m_t^*}}k_{max}^3$.

Подставляем значение $k_{max}$ и получаем:

$n = \frac{1}{3\pi^2}\sqrt{\frac{m_l^*}{m_t^*}}\frac{0,048}{1,608}\frac{E_F^{3/2}}{\hbar^3} = \frac{0,016}{\pi^2}\sqrt{\frac{m_l^*}{m_t^*}}\frac{E_F^{3/2}}{\hbar^3}$.

Осталось найти энергию Ферми $E_F$ из условия, что один период осцилляций магнитосопротивления равен 0,05 Тл$^{-1}$:

$f = \frac{1}{H} = \frac{\hbar}{4\pi e}\sqrt{\frac{m_l^*}{m_t^*}}\frac{1}{E_F}$,

$E_F = \frac{\hbar^2}{4\pi e}\sqrt{\frac{m_l^*}{m_t^*}}\frac{1}{f} = \frac{1,05\cdot10^{-34}\,\text{Дж}\cdot\text{с}}{4\pi\cdot1,6\cdot10^{-19}\,\text{Кл}}\sqrt{\frac{0,24m_0}{0,024m_0}}\frac{1}{0,05\,\text{Тл}^{-1}} = 1,6\,\text{эВ}$.

Теперь можем вычислить концентрацию электронов:

$n = \frac{0,016}{\pi^2}\sqrt{\frac{0,24m_0}{0,024m_0}}\frac{(1,6\,\text{эВ})^{3/2}}{(1,05\cdot10^{-34}\,\text{Дж}\cdot\text{с})^3} = 2,7\cdot10^{19}\,\text{см}^{-3}$.

Ответ: концентрация электронов равна $2,7\cdot10^{19}\,\text{см}^{-3}$.