Методом Харрисона построить поверхность Ферми для двухвалентного металла с гранецентрированной кубической решёткой. Постоянная решётки a. Выразить радиус сферы Ферми через постоянную решётки.

Для построения поверхности Ферми методом Харрисона необходимо найти электронную плотность состояний вдоль линий высокой симметрии в зоне Бриллюэна. Для гранецентрированной кубической решетки в зоне Бриллюэна имеются 12 точек, соединенных ребрами, и 6 точек, соединенных гранями.

Для двухвалентного металла каждый атом вносит вклад в электронную плотность состояний равный 2, поэтому общее число электронов на одну ячейку решетки равно 8.

Рассмотрим линию высокой симметрии, проходящую через центр куба. На этой линии имеются 4 точки, соответствующие вершинам куба, и 2 точки, соответствующие центрам граней. Расстояние между вершинами куба равно a, а расстояние между центрами граней равно √2a.

Для построения поверхности Ферми необходимо найти энергию электронов на этой линии в зависимости от волнового вектора. Энергия электронов связана с их импульсом p следующим соотношением: E = p^2/2m, где m – эффективная масса электрона.

Радиус сферы Ферми определяется из условия, что общее число электронов на ячейку решетки равно числу электронов, находящихся внутри сферы Ферми. Объем сферы Ферми равен (4/3)πk^3, где k – радиус сферы Ферми.

Выразим радиус сферы Ферми через постоянную решетки:

Общее число электронов на ячейку решетки:

N = 8

Число электронов на линии высокой симметрии:

n = 4 × 2 + 2 × 2 = 12

Объем зоны Бриллюэна:

V = (2π/a)^3/8

Объем сферы Ферми:

(4/3)πk^3 = (n/V)

k = [(3n/4π)(a/2π)^3]^(1/3)

k = (3n/πV)^(1/3) × a/2

k = [(3 × 12)/(π(2π/a)^3/8)]^(1/3) × a/2

k = (3 × 12 × 8/π^2)^(1/3) × a/2

k ≈ 1,72 × a

Таким образом, радиус сферы Ферми для двухвалентного металла с гранецентрированной кубической решеткой равен 1,72 раза постоянной решетки.