Приведите пример трёхзначного натурального числа, которое при делении на 9 и на 10 даёт равные ненулевые остатки, а первая слева цнфра воторого является средним арифметическим двух других цифр. Если таких чисел нескольно, в ответе укажите наибольшее из них.

Пусть искомое число имеет вид $abc$, где $a$, $b$ и $c$ — его цифры. Тогда условие задачи можно записать в виде системы уравнений:
\begin{cases} abc \equiv r_1 \pmod{9} \\ abc \equiv r_2 \pmod{10} \\ a = \frac{b+c}{2} \end{cases}
где $r_1$ и $r_2$ — некоторые ненулевые остатки, которые будут определены позже.

Из первого уравнения следует, что $a+b+c \equiv r_1 \pmod{9}$, а из третьего уравнения — что $a = \frac{b+c}{2}$. Подставим второе равенство в первое и получим:
$$\frac{b+c}{2}+b+c \equiv r_1 \pmod{9}.$$
Упростим это выражение:
$$\frac{3b+3c}{2} \equiv r_1 \pmod{9},$$
$$3b+3c \equiv 2r_1 \pmod{9}.$$
Так как $3$ и $9$ взаимно просты, то можно сократить уравнение на $3$:
$$b+c \equiv \frac{2r_1}{3} \pmod{3}.$$
Так как $b$ и $c$ — цифры, то $0 \leq b+c \leq 18$. С другой стороны, $\frac{2r_1}{3}$ — ненулевое число, которое не может быть больше $9$. Отсюда следует, что $b+c = \frac{2r_1}{3}$, то есть $2r_1$ делится на $3$. Поскольку $r_1$ — ненулевой остаток, это возможно только если $r_1 = 3$ или $r_1 = 6$.

Если $r_1 = 3$, то из первого уравнения следует, что $a+b+c \equiv 3 \pmod{9}$, то есть $a \equiv 6-b-c \pmod{9}$. Подставим это выражение во второе уравнение и получим:
$$100a+10b+c \equiv r_2 \pmod{10},$$
$$100(6-b-c)+10b+c \equiv r_2 \pmod{10},$$
$$-99b-99c+610 \equiv r_2 \pmod{10},$$
$$b+c \equiv 4 \pmod{10}.$$
Так как $b+c$ должно быть равно $\frac{2r_1}{3} = 2$, это невозможно.

Если $r_1 = 6$, то из первого уравнения следует, что $a+b+c \equiv 6 \pmod{9}$, то есть $a \equiv 0-b-c \pmod{9}$. Подставим это выражение во второе уравнение и получим:
$$100a+10b+c \equiv r_2 \pmod{10},$$
$$100(-b-c)+10b+c \equiv r_2 \pmod{10},$$
$$-99b-99c \equiv r_2 \pmod{10},$$
$$b+c \equiv -r_2 \pmod{10}.$$
Так как $b+c$ должно быть равно $\frac{2r_1}{3} = 4$, то $-r_2$ должно быть равно $4$ или $14$. Первый случай невозможен, так как $r_2$ — ненулевой остаток. Второй случай соответствует числу $624$, которое действительно удовлетворяет условию задачи. Ответ: $\boxed{624}$.