На сторонах AB и AD параллелограмма ABCD отмечены соответственно точки F и К так, что AK = KD, a AF : FB = 2 : 1. Найдите площадь треугольника CFK, если AB = 15, AD = 18, а высота параллелограмма ВН, проведённая к стороне AD, равна 12.

Найти

Перевести

Поскольку AF : FB = 2 : 1, то можно сказать, что AF = 2x и FB = x, где x - это некоторая константа. Также, поскольку AK = KD, то можно сказать, что DK = 9, так как AD = 18.

Теперь мы можем найти CF, используя теорему Пифагора в треугольнике ADC:

$CD^2 = AD^2 - AC^2$

$CD^2 = 18^2 - 12^2$

$CD = 6\sqrt{10}$

Теперь мы можем найти длину AF, используя теорему Пифагора в треугольнике ACF:

$AF^2 = AC^2 - CF^2$

$AF^2 = (CD + DK)^2 - CF^2$

$AF^2 = (6\sqrt{10} + 9)^2 - CF^2$

$AF^2 = 315 - CF^2$

$2x^2 = 315 - CF^2$

$CF^2 = 315 - 2x^2$

Теперь мы можем найти высоту треугольника CFK, которая равна высоте параллелограмма, проведённой к стороне AB:

$h = 12$

Теперь мы можем найти площадь треугольника CFK:

$S_{CFK} = \frac{1}{2} CF \cdot h$

$S_{CFK} = \frac{1}{2} \sqrt{315 - 2x^2} \cdot 12$

Осталось найти значение x. Для этого воспользуемся формулой для площади параллелограмма:

$S_{ABCD} = AB \cdot h_{AD}$

$S_{ABCD} = 15 \cdot 12$

$S_{ABCD} = 180$

С другой стороны, площадь параллелограмма можно выразить через длины сторон и угол между ними:

$S_{ABCD} = AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD)$

$S_{ABCD} = 15 \cdot 18 \cdot \sin(\angle BAD)$

$S_{ABCD} = 270 \sin(\angle BAD)$

Таким образом, мы можем найти $\sin(\angle BAD)$:

$\sin(\angle BAD) = \frac{180}{270}$

$\sin(\angle BAD) = \frac{2}{3}$

Теперь мы можем найти высоту треугольника AFB, которая равна высоте параллелограмма, проведённой к стороне AB:

$h_{AFB} = \frac{S_{ABCD}}{AB} \cdot \frac{2}{3}$

$h_{AFB} = \frac{180}{15} \cdot \frac{2}{3}$

$h_{AFB} = 8$

Теперь мы можем найти значение x, используя высоту треугольника AFB:

$h_{AFB} = FB \cdot \sin(\angle AFB)$

$8 = x \cdot \sin(\angle AFB)$

$\sin(\angle AFB) = \frac{8}{x}$

Теперь мы можем найти $\cos(\angle AFB)$, используя теорему Пифагора в треугольнике AFB:

$AF^2 = AB^2 + FB^2$

$(2x)^2 = 15^2 + x^2$

$4x^2 = 225 + x^2$

$3x^2 = 225$

$x^2 = 75$

$x = 5\sqrt{3}$

Теперь мы можем найти $\cos(\angle AFB)$:

$\cos(\angle AFB) = \frac{AB}{AF}$

$\cos(\angle AFB) = \frac{15}{2x}$

$\cos(\angle AFB) = \frac{15}{10\sqrt{3}}$

$\cos(\angle AFB) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь мы можем найти $\sin(\angle AFB)$:

$\sin(\angle AFB) = \sqrt{1 - \cos^2(\angle AFB)}$

$\sin(\angle AFB) = \sqrt{1 - \frac{3}{4}}$

$\sin(\angle AFB) = \frac{1}{2}$

Теперь мы можем найти площадь треугольника CFK:

$S_{CFK} = \frac{1}{2} \sqrt{315 - 2x^2} \cdot 12$

$S_{CFK} = \frac{1}{2} \sqrt{315 - 2 \cdot 75} \cdot 12$

$S_{CFK} = \frac{1}{2} \sqrt{165} \cdot 12$

$S_{CFK} = 18\sqrt{165}$

Таким образом, площадь треугольника CFK равна $18\sqrt{165}$ квадратных единиц.