На сторонах AB и AD параллелограмма ABCD отмечены соответственно точки F и К так, что AK = KD, a AF : FB = 2 : 1. Найдите площадь треугольника CFK, если AB = 15, AD = 18, а высота параллелограмма ВН, проведённая к стороне AD, равна 12.

Найти

Перевести

Поскольку AF : FB = 2 : 1, то мы можем представить вектор AF как $\vec{AF} = \frac{2}{3}\vec{AB}$ и вектор FB как $\vec{FB} = \frac{1}{3}\vec{AB}$. Также, поскольку AK = KD, то точка K находится на середине отрезка AD, и мы можем представить вектор AK как $\vec{AK} = \frac{1}{2}\vec{AD}$ и вектор KD как $\vec{KD} = \frac{1}{2}\vec{AD}$.

Теперь мы можем найти вектор CF как сумму векторов AF, FK и KC:

$$\vec{CF} = \vec{AF} + \vec{FK} + \vec{KC}$$

Поскольку параллелограмм ABCD имеет высоту 12, то площадь параллелограмма равна $S_{ABCD} = 12 \cdot AD = 216$.

Также мы можем найти площадь треугольника AFB как половину площади параллелограмма ABCD:

$$S_{AFB} = \frac{1}{2}S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 216 = 108$$

Теперь мы можем найти вектор FK как разность векторов FB и AK:

$$\vec{FK} = \vec{FB} - \vec{AK} = \frac{1}{3}\vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AD}$$

И вектор KC как разность векторов KD и DC:

$$\vec{KC} = \vec{KD} - \vec{DC} = \frac{1}{2}\vec{AD} - \vec{AB}$$

Теперь мы можем выразить вектор CF через векторы AB и AD:

$$\vec{CF} = \frac{2}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AD} - \vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AD} = -\frac{1}{3}\vec{AB}$$

Таким образом, вектор CF параллелен вектору AB и имеет длину $\frac{1}{3}$ от длины вектора AB.

Теперь мы можем найти высоту треугольника CFK, проведенную к стороне CF, как проекцию вектора FK на вектор AB:

$$h = |\vec{FK} \cdot \frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|}| = |\frac{1}{3}\vec{AB} \cdot \frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|}| = \frac{1}{3}|\vec{AB}| = 5$$

Таким образом, площадь треугольника CFK равна

$$S_{CFK} = \frac{1}{2} \cdot h \cdot CF = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \frac{1}{3}|\vec{AB}| = \frac{5}{6} \cdot 15 = \boxed{12.5}$$