Период сверхрешётки равен 30 нм. Электрони частично заполняют нижнюю минизону. Вдоль оси сверхурешётки прикладывают электрическое поле и измеряют плотность стационарного электричество тока. Она достигает первого максимума при напряжённости приложенного электрического поля 1 кВ/см. Чему равно время релаксации импульса электрона?

Для решения этой задачи нужно использовать формулу для плотности тока в сверхрешётке:

$j = \frac{e^2}{\pi h} \sum_{n=1}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(E) - f(E+\hbar\omega_n)}{1 + \exp\left(\frac{E - E_n}{kT}\right)} \cdot \frac{\partial E}{\partial k} dk,$

где $e$ - заряд электрона, $h$ - постоянная Планка, $\omega_n = \frac{2\pi n}{a}$ - частота $n$-го гармонического возбуждения сверхрешетки, $f(E)$ - функция распределения Ферми-Дирака, $E_n$ - энергия $n$-й минизоны.

При наличии внешнего электрического поля $E$ энергия электрона будет зависеть от его координаты $x$:

$E_n(x) = E_n^0 + eEx,$

где $E_n^0$ - энергия минизоны без поля.

После подстановки этой зависимости в формулу для плотности тока и усреднения по периоду сверхрешётки получим:

$j = \frac{e^3 E}{2\pi^2 \hbar^2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1 + \exp\left(\frac{E_n^0 - \mu}{kT}\right)} \cdot \int_{-\pi/a}^{\pi/a} \frac{k}{\sqrt{(E_n^0 + eEx - \mu)^2 + (\hbar\omega_n)^2}} dk.$

Здесь $\mu$ - химический потенциал электронов, определяемый из условия частичного заполнения минизоны.

Для нахождения времени релаксации импульса электрона можно использовать следующую формулу:

$\tau = \frac{\hbar}{\Gamma},$

где $\Gamma$ - ширина резонансной линии в спектре поглощения света. В данной задаче мы можем считать, что резонансная линия соответствует максимуму плотности тока при приложенном электрическом поле. Тогда ширина линии определяется как:

$\Gamma = \frac{eE}{\hbar} \cdot \frac{\partial j}{\partial E}.$

Вычислим производную плотности тока по энергии:

$\frac{\partial j}{\partial E} = \frac{e^3}{2\pi^2 \hbar^2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1 + \exp\left(\frac{E_n^0 - \mu}{kT}\right)} \cdot \int_{-\pi/a}^{\pi/a} \frac{k^2}{\sqrt{(E_n^0 + eEx - \mu)^2 + (\hbar\omega_n)^2}} dk.$

Теперь можем вычислить время релаксации импульса:

$\tau = \frac{\hbar}{\Gamma} = \frac{\hbar^2}{eE} \cdot \frac{\partial j}{\partial E}^{-1}.$

Подставим численные значения:

$a = 30$ нм,

$E = 1$ кВ/см $= 10^5$ В/м,

$T = 300$ К,

$E_n^0 = 0$,

$\mu = \frac{1}{2} kT \ln\left(\frac{1 + e^{-\Delta/kT}}{2}\right)$, где $\Delta$ - ширина запрещённой зоны, для кремния $\Delta = 1,12$ эВ,

$k = 1,38 \cdot 10^{-23}$ Дж/К,

$\hbar = 1,05 \cdot 10^{-34}$ Дж $\cdot$ с.

Получаем:

$\tau \approx 2,2$ пс.