Даны уравнения сторон треугольника

x-5y+6=0.(AB)

4x-3y-10=0(BC)

7x-y+8=0(AC)

Составить уравнения медианы AE,высоты AD и биссектрисы AF

Найти их длины🥺🥺🥺

Для начала найдем координаты вершин треугольника. Для этого решим систему уравнений:

x - 5y + 6 = 0

4x - 3y - 10 = 0

7x - y + 8 = 0

Решение:

x = -1, y = -1 (вершина A)

x = 2, y = 4 (вершина B)

x = 3, y = 5 (вершина C)

Теперь построим треугольник ABC и найдем координаты его середин AB, BC и AC:

AB: ((-1+2)/2, (-1+4)/2) = (0.5, 1.5)

BC: ((2+3)/2, (4+5)/2) = (2.5, 4.5)

AC: ((-1+3)/2, (-1+5)/2) = (1, 2)

Теперь можем найти уравнения медианы AE, проходящей через вершину A и середину BC:

Медиана AE проходит через точку A(-1,-1) и середину BC (2.5, 4.5). Найдем уравнение прямой, проходящей через эти точки:

k = (4.5 + 1) / (2.5 + 1) = 1.5

b = -1 - 1.5*(-1) = -1.5

Уравнение медианы AE: y = 1.5x - 1.5

Теперь найдем длину медианы AE. Для этого найдем координаты точки E, которая является серединой стороны BC:

E: ((2+3)/2, (4+5)/2) = (2.5, 4.5)

Длина медианы AE равна расстоянию между точками A и E:

AE = sqrt((2.5 - (-1))^2 + (4.5 - (-1))^2) = sqrt(42)

Теперь найдем уравнение высоты AD, проходящей через вершину A и перпендикулярной стороне BC:

Строим прямую, проходящую через точку A(-1,-1) и перпендикулярную стороне BC, которая задается уравнением 4x - 3y - 10 = 0:

k = 3/4

b = -1 - 3/4*(-1) = -1/4

Уравнение высоты AD: y = 3/4x - 1/4

Теперь найдем длину высоты AD. Для этого найдем координаты точки D, которая является пересечением прямых AD и BC:

4x - 3y - 10 = 0

y = 3/4x - 1/4

4x - 3(3/4x - 1/4) - 10 = 0

x = 2

y = 2

D(2,2)

Длина высоты AD равна расстоянию между точками A и D:

AD = sqrt((2 - (-1))^2 + (2 - (-1))^2) = sqrt(18)

Наконец, найдем уравнение биссектрисы AF, которая проходит через вершину A и делит угол BAC пополам:

Строим прямую, проходящую через точку A(-1,-1) и точку пересечения биссектрисы с стороной BC, которая задается уравнением 4x - 3y - 10 = 0:

Найдем угол BAC:

cos(BAC) = (AB*AC) / (|AB|*|AC|) = ((2.5 - (-1))*(1 - (-1)) + (4.5 - (-1))*(5 - (-1))) / (sqrt((2.5 - (-1))^2 + (4.5 - (-1))^2) * sqrt((1 - (-1))^2 + (5 - (-1))^2)) = 0.8

BAC = arccos(0.8) ≈ 37°

Так как биссектриса делит угол BAC пополам, то угол FAB = 18.5°

Теперь найдем координаты точки F, которая является пересечением биссектрисы AF и стороны BC:

7x - y + 8 = 0

y = 7x + 8

tg(18.5°) = (y+1)/(x+1)

x = (y+1)/tg(18.5°) - 1

7((y+1)/tg(18.5°) - 1) - y + 8 = 0

y ≈ 1.4

x ≈ 0.5

F(0.5, 1.4)

Теперь найдем уравнение биссектрисы AF. Для этого найдем уравнение прямой, проходящей через точки A(-1,-1) и F(0.5, 1.4):

k = (1.4 + 1) / (0.5 + 1) = 1.2

b = -1 - 1.2*(-1) = -0.2

Уравнение биссектрисы AF: y = 1.2x - 0.2

Наконец, найдем длину биссектрисы AF. Для этого найдем расстояние между точками A и точкой пересечения биссектрисы с отрезком BC:

AF = sqrt((0.5 - (-1))^2 + (1.4 - (-1))^2) = sqrt(10)