В момент времени t=0 пластинка из собственного полупроводника начинают освещать светом с энергией фотона, превышающей ширину запрещённой зоны полупроводника. При этом по объёму полупроводника равномерно генерятся электронно-дырочные пары. При температуре 250 К через t1=50 мкс после включения освещения концентрация неравновесных электронов составляет 50% от значения, которого достигает концентрация неравновесных электронов через время освещения намного превышающее время жизни. При температуре 300 К концентрация неравновесных электронов через t2=10 мкс составляет 50% от значения, которого достигает концентрация неравновесных электронов через время освещения намного превышающее время жизни. Оценить ширину запрещённой зоны полупроводника, считая, что она не зависит от температуры. Считать, концентрация неравновесных электронов намного меньше собственной концентрации электронов.

Для решения задачи воспользуемся уравнениями для концентрации неравновесных носителей заряда в полупроводнике:

$n = n_i \exp(\frac{E_F - E_i}{kT})$

$p = n_i \exp(\frac{E_i - E_V}{kT})$

где $n$ - концентрация электронов, $p$ - концентрация дырок, $n_i$ - собственная концентрация электронов и дырок, $E_F$ - уровень Ферми, $E_i$ - энергия уровня, на котором находятся свободные электроны, $E_V$ - энергия уровня, на котором находятся свободные дырки, $k$ - постоянная Больцмана, $T$ - температура.

Из условия задачи известно, что через время, много большее времени жизни носителей, концентрация неравновесных электронов достигает максимального значения. При этом мы можем считать, что концентрация дырок равна собственной концентрации, так как она много больше концентрации неравновесных электронов. Таким образом, из уравнений выше можно получить:

$n_{max} = n_i \exp(\frac{E_F - E_i}{kT})$

$p_{max} = n_i$

где $n_{max}$ и $p_{max}$ - максимальные концентрации неравновесных электронов и дырок соответственно.

Из условия задачи также известно, что через время $t_1$ концентрация неравновесных электронов составляет 50% от максимальной концентрации при температуре 250 К. То есть:

$n_{t_1} = \frac{1}{2} n_{max}$

Подставляя это выражение в первое уравнение, получаем:

$\frac{E_F - E_i}{kT_1} = \ln{\frac{1}{2}}$

Аналогично, для температуры 300 К и времени $t_2$:

$n_{t_2} = \frac{1}{2} n_{max}$

$\frac{E_F - E_i}{kT_2} = \ln{\frac{1}{2}}$

Разделив эти два уравнения, получаем:

$\frac{T_1}{T_2} = \frac{k \ln{\frac{1}{2}}}{E_F - E_i}$

Таким образом, мы можем выразить разность энергий уровней через отношение температур:

$E_F - E_i = \frac{k \ln{\frac{1}{2}}}{\frac{T_1}{T_2}}$

Известно также, что энергия фотона превышает ширину запрещенной зоны полупроводника. При этом мы можем считать, что энергия фотона равна энергии, необходимой для перехода электрона из валентной зоны на уровень Ферми. То есть:

$E_F - E_V = E_{ph}$

где $E_{ph}$ - энергия фотона.

Следовательно, ширина запрещенной зоны полупроводника равна:

$E_i - E_V = E_F - E_{ph} - E_V = E_F - E_V - E_{ph}$

Подставляя выражения для $E_F - E_i$ и $E_F - E_V$, получаем:

$E_g = E_F - E_i = \frac{k \ln{\frac{1}{2}}}{\frac{T_1}{T_2}} - E_{ph}$

Таким образом, мы можем оценить ширину запрещенной зоны полупроводника, зная энергию фотона и времена $t_1$ и $t_2$.