Между предметом и стеной стоит линза. Изображение предмета на стене является четким при двух положениях линзы, при этом в одном случае высота изображения равна 81 см, а во втором 36 см. Чему равна высота самого предмета?  

Для решения задачи воспользуемся формулой тонкой линзы:

$\frac{1}{f}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$,

где $f$ - фокусное расстояние линзы, $a$ - расстояние от предмета до линзы, $b$ - расстояние от линзы до изображения.

При первом положении линзы имеем:

$\frac{1}{f}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b_1}$,

где $b_1$ - расстояние от линзы до стены при первом положении линзы.

Аналогично, при втором положении линзы:

$\frac{1}{f}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b_2}$,

где $b_2$ - расстояние от линзы до стены при втором положении линзы.

Вычитая из этих уравнений друг друга, получим:

$\frac{1}{b_1}-\frac{1}{b_2}=\frac{1}{f}-\frac{1}{f}=0$,

откуда следует, что $b_1=b_2$.

Таким образом, расстояние от линзы до стены не зависит от положения линзы, а значит, линза находится в фокусе.

Высота изображения связана с высотой предмета соотношением:

$\frac{h'}{h}=\frac{b}{a}$,

где $h'$ - высота изображения, $h$ - высота предмета.

Из двух условий задачи получаем систему уравнений:

$\begin{cases} \frac{h'}{h}=\frac{b_1}{a} \\ \frac{h'}{h}=\frac{b_2}{a} \end{cases}$

Разделив одно уравнение на другое, получим:

$\frac{b_1}{b_2}=\frac{h'}{h}= \frac{81}{36}=\frac{9}{4}$

Откуда $b_1=\frac{9}{4}b_2$.

Так как $b_1=b_2$, то $\frac{9}{4}b_2=b_2$, откуда $b_2=\frac{4}{5}h'$.

Подставляя $b_2$ в первое уравнение системы, получаем:

$\frac{h'}{h}=\frac{b_1}{a}=\frac{\frac{9}{4}b_2}{a}=\frac{9}{4}\cdot\frac{4}{5}=\frac{9}{5}$

Откуда $h=\frac{5}{9}h'= \frac{5}{9}\cdot 36 = 20$ см.

Таким образом, высота предмета равна 20 см.