Даны равносторонние треугольники АВС и А1В1С1, точки О и О1 — точки пересечения высот этих треугольников, причем ОА = О1А1. Докажите, что треугольники АВС и A1B1C1 равны.

Для начала заметим, что точки О и О1 являются ортоцентрами соответствующих треугольников, то есть пересечениями высот. Так как треугольники АВС и А1В1С1 равносторонние, то у них все стороны и углы равны.

Рассмотрим треугольник АОО1. Так как ОА = О1А1, то этот треугольник равнобедренный. Значит, углы ОАО1 и О1А1О равны. Но эти углы являются углами между высотами треугольников АВС и А1В1С1. Значит, эти два треугольника подобны с коэффициентом соответствующей стороны, а так как у них все стороны равны, то они равны.