в треугольном прямоугольнике abc с гипотенузой ab внешний угол при вершине B равен 150°,AC+AB=18см.Найдите длину гипотенузы

Из условия задачи известно, что внешний угол треугольника B равен 150°, следовательно, внутренний угол равен 180° - 150° = 30°. Так как треугольник ABC прямоугольный, то угол CAB равен 90° - 30° = 60°.

По теореме косинусов в прямоугольном треугольнике ABC:
AB^2 = AC^2 + BC^2

Заменим AC на (18 - AB):
AB^2 = (18 - AB)^2 + BC^2

AB^2 = 324 - 36AB + AB^2 + BC^2

BC^2 = 324 - 36AB

Так как BC - это катет прямоугольного треугольника ABC, то он равен:
BC = AB * tan CAB

Заменим CAB на 60° и подставим выражение для BC:
AB * tan 60° = √3 * AB/3 = BC

Тогда:
(√3 * AB/3)^2 = 324 - 36AB

AB^2/3 = 324 - 36AB

AB^2 = 972 - 108AB

AB^2 + 108AB - 972 = 0

Решив квадратное уравнение, получим:
AB = 6√21 - 18

Теперь найдем длину гипотенузы:
AB^2 + BC^2 = AC^2
(6√21 - 18)^2 + (324 - 36AB) = AC^2

AC^2 = 432

AC = 12√3

Таким образом, длина гипотенузы AB равна 18 см, а длина гипотенузы AC равна 12√3 см.