Основание прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 — квадрат ABCD. Постройте прямую, проходящую через точку A и перпендикулярную плоскости BB1D.

Выполните построение, проведите доказательство.

1. Постройте проекции точки A на плоскости BB1D и на плоскость, перпендикулярную BB1D. Обозначим эти точки как A' и A'' соответственно.

2. Проведите прямую AA', которая лежит в плоскости BB1D.

3. Найдите середину отрезка AA', обозначим ее как M.

4. Проведите прямую, проходящую через точки M и A''.

5. Докажем, что эта прямая перпендикулярна плоскости BB1D. Для этого рассмотрим произвольную точку P на прямой MA''. Также рассмотрим проекции этой точки на плоскости BB1D и на плоскость, перпендикулярную BB1D. Обозначим эти точки как P' и P'' соответственно. Так как точка P лежит на прямой MA'', то ее проекции P' и P'' лежат на соответствующих плоскостях. Также, так как точка A'' лежит на плоскости, перпендикулярной BB1D, то отрезок A''P'' перпендикулярен этой плоскости. Значит, отрезок MP' перпендикулярен плоскости BB1D. Так как точка P была выбрана произвольно, то прямая MA'' перпендикулярна плоскости BB1D.

6. Получили, что прямая, проходящая через точки A и M, перпендикулярна плоскости BB1D. Она и является искомой прямой.