очка A не лежит в плоскости квадрата KMPT и находится на равных расстояниях от его вершин. Точки C и E — середины сторон KT и MP. Найдите угол между плоскостями AKT и AMP, если MT=38 см, AC=AE=19 см.

Обозначим через $O$ точку пересечения диагоналей квадрата $KMPT$. Так как $AC=AE$, то точка $A$ лежит на пересечении биссектрис угла $KOE$ и плоскости $KMPT$. Обозначим через $H$ проекцию точки $A$ на $KMPT$. Тогда $OH=AK=AP=19\text{ см}$.

[asy]
import three;
triple K=(0,0,0), M=(1,0,0), P=(1,1,0), T=(0,1,0), A=(0.5,0.5,1), C=(0.5,1,0.5), E=(1,0.5,0.5);
draw(K--M--P--T--K--A--M--A--P--A--T);
draw(K--E--M, dashed);
draw(T--C--P, dashed);
label("$K$", K, S);
label("$M$", M, S);
label("$P$", P, N);
label("$T$", T, N);
label("$A$", A, NE);
label("$C$", C, N);
label("$E$", E, NE);
label("$O$", (0.5,0.5,0), S);
label("$H$", (0.5,0.5,0), N);
[/asy]

Так как $C$ и $E$ — середины сторон $KT$ и $MP$, то $CE\parallel KP$, $CE=\frac12 KP=\frac12 MT=19\text{ см}$, откуда $KM=2CE=38\text{ см}$. Таким образом, $KMO$ — равносторонний треугольник со стороной $38\text{ см}$.

Так как $OH=AK=19\text{ см}$, то $AH=19\sqrt2\text{ см}$. Так как $AK$ и $AP$ являются высотами в треугольниках $KOH$ и $POH$, то $KP=\sqrt3\cdot AK=38\sqrt3\text{ см}$ и $OH=\frac{KP}{2\sqrt3}=\frac{19\sqrt3}{\sqrt2}\text{ см}$.

Теперь мы можем найти косинус угла между плоскостями $AKT$ и $AMP$:
\begin{align*}
\cos\angle TAP &= \frac{AK^2+AP^2-KP^2}{2\cdot AK\cdot AP} \\
&= \frac{19^2+19^2-(38\sqrt3)^2}{2\cdot 19^2} \\
&= -\frac{19\sqrt3}{19}=-\sqrt3.
\end{align*}
Таким образом, $\angle TAP=150^\circ$, и угол между плоскостями $AKT$ и $AMP$ равен $180^\circ-150^\circ=\boxed{30^\circ}$.