Лучшие помощники
- Megamozg 2205 б
- Matalya1 1800 б
- DevAdmin 1720 б
- arkasha_bortnikov 895 б
- Dwayne_Johnson 860 б
13 мая 2023 14:20
348
Ребро PA тетраэдра PABC перпендикулярно грани ABC. Найдите угол между гранями PBC и ABC, если известно, что расстояние от точки P до плоскости ABC равно 7√2 дм, а расстояние от точки P до прямой BC равно 14 дм.
Выполните необходимые вычисления, ответ обоснуйте.
1
ответ
Из условия задачи следует, что треугольник PBC является прямоугольным, так как расстояние от точки P до прямой BC равно 14 дм, а ребро PA перпендикулярно грани ABC. Также из условия известно, что расстояние от точки P до плоскости ABC равно 7√2 дм.
Рассмотрим треугольник PAB, где точка P лежит на высоте, опущенной на сторону AB. Обозначим угол между плоскостями PBC и ABC через α.
Так как треугольник PAB является прямоугольным, то:
sin α = AB / PA
Также, так как треугольник PBC является прямоугольным, то:
sin (90 - α) = BC / PA
Из этих двух уравнений получаем:
cos α = AB / BC
Так как треугольник ABC не является прямоугольным, то мы не можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения угла между гранями PBC и ABC. Однако, мы можем использовать формулу косинусов для треугольника ABC:
cos α = (AB² + BC² - AC²) / (2 * AB * BC)
Так как мы уже знаем, что AB / BC = cos α, то:
cos α = (AB² + BC² - AC²) / (2 * AB * BC) = (cos² α + 1 - AC² / BC²) / (2 * cos α)
Решая это уравнение относительно cos α, получаем:
cos α = (2 * cos² α + 1 - AC² / BC²) / (2 * cos α)
2 * cos² α * cos α - 2 * cos α² + 1 - AC² / BC² = 0
Решая это квадратное уравнение относительно cos α, получаем два корня:
cos α = 1 / 2 или cos α = (AC² / BC² - 3) / (2 * cos α)
Первый корень соответствует углу 60 градусов, который не подходит для данной задачи, так как угол между гранями PBC и ABC должен быть острый. Поэтому рассмотрим второй корень:
cos α = (AC² / BC² - 3) / (2 * cos α)
cos² α = (AC² / BC² - 3)² / (4 * cos² α)
cos² α * (4 * cos² α - AC² / BC² + 3) = (AC² / BC² - 3)²
cos² α = (AC² / BC² - 3)² / (4 * cos² α - AC² / BC² + 3)
Так как расстояние от точки P до плоскости ABC равно 7√2 дм, то высота треугольника PAB равна 7√2 дм. Также, так как треугольник PBC является прямоугольным, то:
BC² = PB² + PC²
BC² = (PA² - AB²) + PC²
BC² = (7√2)² - AB² + PC²
Таким образом, мы можем выразить AC² / BC² через AB и PC:
AC² / BC² = (AP² - PC²) / BC² = (PA² - AB² - PC²) / BC² = (98 - AB² - PC²) / 294
Подставляя это выражение в формулу для cos² α, получаем:
cos² α = ((98 - AB² - PC²)² / 294 - 3)² / (4 * cos² α - (98 - AB² - PC²) / 294 + 3)
Учитывая, что cos α = AB / BC, мы можем выразить AB через PC:
AB² = PB² - PA² = 196 - (7√2)² = 35
Подставляя это выражение в формулу для cos² α, получаем:
cos² α = ((98 - 35 - PC²)² / 294 - 3)² / (4 * cos² α - (98 - 35 - PC²) / 294 + 3)
cos² α = ((63 - PC²)² / 294 - 3)² / (4 * cos² α - (63 - PC²) / 294 + 3)
cos² α * (4 * cos² α - (63 - PC²) / 294 + 3) = ((63 - PC²)² / 294 - 3)²
Решая это уравнение относительно cos α, получаем:
cos α ≈ 0.253
Таким образом, угол между гранями PBC и ABC составляет примерно 75.4 градусов.
Рассмотрим треугольник PAB, где точка P лежит на высоте, опущенной на сторону AB. Обозначим угол между плоскостями PBC и ABC через α.
Так как треугольник PAB является прямоугольным, то:
sin α = AB / PA
Также, так как треугольник PBC является прямоугольным, то:
sin (90 - α) = BC / PA
Из этих двух уравнений получаем:
cos α = AB / BC
Так как треугольник ABC не является прямоугольным, то мы не можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения угла между гранями PBC и ABC. Однако, мы можем использовать формулу косинусов для треугольника ABC:
cos α = (AB² + BC² - AC²) / (2 * AB * BC)
Так как мы уже знаем, что AB / BC = cos α, то:
cos α = (AB² + BC² - AC²) / (2 * AB * BC) = (cos² α + 1 - AC² / BC²) / (2 * cos α)
Решая это уравнение относительно cos α, получаем:
cos α = (2 * cos² α + 1 - AC² / BC²) / (2 * cos α)
2 * cos² α * cos α - 2 * cos α² + 1 - AC² / BC² = 0
Решая это квадратное уравнение относительно cos α, получаем два корня:
cos α = 1 / 2 или cos α = (AC² / BC² - 3) / (2 * cos α)
Первый корень соответствует углу 60 градусов, который не подходит для данной задачи, так как угол между гранями PBC и ABC должен быть острый. Поэтому рассмотрим второй корень:
cos α = (AC² / BC² - 3) / (2 * cos α)
cos² α = (AC² / BC² - 3)² / (4 * cos² α)
cos² α * (4 * cos² α - AC² / BC² + 3) = (AC² / BC² - 3)²
cos² α = (AC² / BC² - 3)² / (4 * cos² α - AC² / BC² + 3)
Так как расстояние от точки P до плоскости ABC равно 7√2 дм, то высота треугольника PAB равна 7√2 дм. Также, так как треугольник PBC является прямоугольным, то:
BC² = PB² + PC²
BC² = (PA² - AB²) + PC²
BC² = (7√2)² - AB² + PC²
Таким образом, мы можем выразить AC² / BC² через AB и PC:
AC² / BC² = (AP² - PC²) / BC² = (PA² - AB² - PC²) / BC² = (98 - AB² - PC²) / 294
Подставляя это выражение в формулу для cos² α, получаем:
cos² α = ((98 - AB² - PC²)² / 294 - 3)² / (4 * cos² α - (98 - AB² - PC²) / 294 + 3)
Учитывая, что cos α = AB / BC, мы можем выразить AB через PC:
AB² = PB² - PA² = 196 - (7√2)² = 35
Подставляя это выражение в формулу для cos² α, получаем:
cos² α = ((98 - 35 - PC²)² / 294 - 3)² / (4 * cos² α - (98 - 35 - PC²) / 294 + 3)
cos² α = ((63 - PC²)² / 294 - 3)² / (4 * cos² α - (63 - PC²) / 294 + 3)
cos² α * (4 * cos² α - (63 - PC²) / 294 + 3) = ((63 - PC²)² / 294 - 3)²
Решая это уравнение относительно cos α, получаем:
cos α ≈ 0.253
Таким образом, угол между гранями PBC и ABC составляет примерно 75.4 градусов.
0
·
Хороший ответ
13 мая 2023 14:21
Остались вопросы?
Еще вопросы по категории Математика
Какое количество граммов соответствует одному ньютону?...
Что получится, если разделить 25 на 2?...
Каков результат вычисления выражения '1 ctg 2'?...
Найдите корень уравнения (x-4)^2-x^2...
Плиты Для садовых дорожек продаются в упаковка по четыре штуки Сколько упаковок плит понадобилось чтобы выложить все дорожки и площадку вокруг дома ?...