1. В сферу радиуса 10 вписана четырехугольная пирамида, у которой все боковые ребра равны 5, а стороны прямоугольника, лежащего в основании, относятся как 1:2. Найдите объем пирамиды.

Обозначим стороны прямоугольника в основании через $a$ и $2a$ (так как они относятся как 1:2). Тогда по теореме Пифагора получаем, что диагональ прямоугольника равна $\sqrt{a^2 + 4a^2} = a\sqrt{5}$. Поскольку эта диагональ является высотой пирамиды, а основание пирамиды является прямоугольником со сторонами $a$ и $2a$, то объем пирамиды равен:

$$V = \frac{1}{3}Sh = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot 2a \cdot a\sqrt{5} = \frac{1}{3}a^2\sqrt{5} \cdot 2a = \frac{2}{3}a^3\sqrt{5}$$

Осталось найти значение $a$. Для этого заметим, что боковые ребра пирамиды равны 5, а высота пирамиды равна $a\sqrt{5}$. По теореме Пифагора для боковой грани пирамиды получаем:

$$\left(\frac{a\sqrt{5}}{2}\right)^2 + 5^2 = \left(10\right)^2$$

Решая это уравнение, получаем $a = \frac{20}{\sqrt{29}}$. Подставляя это значение в формулу для объема, получаем:

$$V = \frac{2}{3}\left(\frac{20}{\sqrt{29}}\right)^3\sqrt{5} \approx 104.34$$

Ответ: $V \approx 104.34$.