Диагональ правильного четырехугольника равна 8 см. Найдите площадь описанного круга и длину вписанной окружности.

Пусть ABCD – правильный четырехугольник, а O – его центр. Тогда диагональ AC является диаметром описанной окружности, а отрезок OD – радиусом вписанной окружности.

Найдем длину стороны четырехугольника. Так как он правильный, то все его стороны равны между собой. Обозначим длину стороны через a. Тогда, применяя теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику AOD, получаем:

$a^2 + a^2 = 8^2$

$2a^2 = 64$

$a^2 = 32$

$a = 4\sqrt{2}$

Теперь можем найти радиус описанной окружности:

$R = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4$

И площадь описанного круга:

$S = \pi R^2 = \pi \cdot 4^2 = 16\pi$

Чтобы найти длину вписанной окружности, нужно найти радиус вписанной окружности. Рассмотрим треугольник AOD. Он равнобедренный, так как OD является радиусом вписанной окружности, а AD и OD – равными сторонами. Пусть r – радиус вписанной окружности. Тогда, применяя теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику AOD, получаем:

$r^2 + (\frac{a}{2})^2 = OD^2$

$r^2 + (\frac{4\sqrt{2}}{2})^2 = 4^2$

$r^2 + 8 = 16$

$r^2 = 8$

$r = 2\sqrt{2}$

Теперь можем найти длину вписанной окружности:

$L = 2\pi r = 2\pi \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\pi$