основанием прямоугольного параллелепипеда abcda1b1c1d1 является квадрат со стороной равной 2. на боковом ребре dd1 равном 3 выбрана точка k, которая делит его в отношении 2:1 считая от вершины d. найдите угол между прямыми kc и a1b1, угол между плоскостями akc и abc

Найдем координаты точек A, B, C, D, A1, B1, C1, D1. Пусть начало координат находится в центре квадрата ABCD, а ось x направлена от точки A к точке B, ось y - от точки A к точке D, ось z - от точки A1 к точке A.

Тогда координаты точек будут следующими:

A(-1, 1, 0), B(1, 1, 0), C(1, -1, 0), D(-1, -1, 0), A1(-1, 1, 1), B1(1, 1, 1), C1(1, -1, 1), D1(-1, -1, 1).

Точка K находится на боковом ребре DD1, поэтому ее координаты можно найти как среднее арифметическое координат точек D и D1:

K(0, 0, 2).

Теперь найдем векторы KC и A1B1:

KC = K - C = (0, 0, 2) - (1, -1, 0) = (-1, 1, 2),

A1B1 = B1 - A1 = (1, 1, 1) - (-1, 1, 1) = (2, 0, 0).

Найдем угол между векторами KC и A1B1:

cos(угол) = (KC * A1B1) / (|KC| * |A1B1|),

где * - операция скалярного произведения векторов, | | - операция нахождения длины вектора.

KC * A1B1 = (-1) * 2 + 1 * 0 + 2 * 0 = -2,

|KC| = sqrt((-1)^2 + 1^2 + 2^2) = sqrt(6),

|A1B1| = sqrt(2^2 + 0^2 + 0^2) = 2.

Тогда cos(угол) = -2 / (sqrt(6) * 2) = -1 / sqrt(6),

угол = arccos(-1 / sqrt(6)) ≈ 150.96°.

Найдем угол между плоскостями AKC и ABC:

cos(угол) = (n1 * n2) / (|n1| * |n2|),

где n1 и n2 - нормали к плоскостям AKC и ABC соответственно.

Найдем нормали к плоскостям:

n1 = (KC * AC) / |KC * AC|,

n2 = (AB * AC) / |AB * AC|,

где * - операция векторного произведения векторов.

KC * AC = (-1, 1, 2) * (1, -1, 0) = (-2, -2, -2),

|KC * AC| = sqrt((-2)^2 + (-2)^2 + (-2)^2) = 2 * sqrt(2),

n1 = (-1, 1, 2) / (2 * sqrt(2)) = (-1 / (2 * sqrt(2)), 1 / (2 * sqrt(2)), sqrt(2) / (2 * sqrt(2))) = (-1 / 2, 1 / 2, 1 / sqrt(2)),

AB * AC = (2, 0, 0) * (1, -1, 0) = (0, 0, -2),

|AB * AC| = sqrt(0^2 + 0^2 + (-2)^2) = 2,

n2 = (0, 0, -1).

Тогда cos(угол) = (n1 * n2) / (|n1| * |n2|) = (1 / sqrt(2)) / (sqrt(2) * 1) = 1 / 2,

угол = arccos(1 / 2) = π / 3 ≈ 60°.

Ответ: угол между прямыми KC и A1B1 ≈ 150.96°, угол между плоскостями AKC и ABC ≈ 60°.