В четырëхугольнике ABCD вписана окружность AB=12, CD=50.Найдите периметр четырëхугольника ABCD

Пусть точки касания окружности со сторонами четырехугольника обозначены как E, F, G, H. Тогда AE = BF и CG = DH, так как они являются радиусами вписанной окружности. Обозначим AD как x и BC как y. Тогда:

x + y + AE + CG = x + y + BF + DH = x + y + 12 + 50

Таким образом, периметр четырехугольника ABCD равен:

P = x + y + 62

Осталось найти значения x и y. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для треугольников ABE и CDF:

AB² - AE² = BE²
CD² - CG² = DG²

При этом BE = DG, так как они являются радиусами вписанной окружности. Следовательно,

AB² - AE² = CD² - CG²

12² - AE² = 50² - CG²

AE² - CG² = 50² - 12²

(AE + CG)(AE - CG) = 50² - 12²

(2x)(2y) = 50² - 12²

4xy = 2304

xy = 576

Таким образом, периметр четырехугольника ABCD равен:

P = x + y + 62 = √xy + √xy + 62 = 2√576 + 62 = 2(24) + 62 = 110.

Ответ: периметр четырехугольника ABCD равен 110.