4. В правильной четырёхугольной SABCD точка О - центр основания, S - вершина, SO=23, SD=23+5. Найдите длину отрезка АС.

Так как SABCD - правильный четырёхугольник, то все его стороны равны, а диагонали являются перпендикулярными биссектрисами углов.

Пусть сторона SABCD равна a, тогда диагонали SA и SC равны a√2.

Так как SO - медиана треугольника ASD, то применяя формулу медианы, находим:

$$
AS^2 + SD^2 = 2 \cdot SO^2 + 2 \cdot OA^2 - AO^2
$$

$$
a^2 + (a\sqrt{2})^2 = 2 \cdot 23^2 + 2 \cdot OA^2 - OA^2
$$

$$
3a^2 = 2 \cdot 23^2 + OA^2
$$

Так как OA = 1/2 * a, то

$$
3a^2 = 2 \cdot 23^2 + \frac{1}{4} \cdot a^2
$$

$$
12a^2 = 4 \cdot 23^2 + a^2
$$

$$
a^2 = \frac{4 \cdot 23^2}{11}
$$

$$
a = \frac{46}{\sqrt{11}}
$$

Теперь найдем длину отрезка АС, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ASC:

$$
AC^2 = AS^2 + SC^2 = a^2 + 2a^2 = 3a^2
$$

$$
AC = a\sqrt{3} = \frac{46\sqrt{3}}{\sqrt{11}}
$$

Ответ: длина отрезка АС равна $\frac{46\sqrt{3}}{\sqrt{11}}$.