найти производную используя её определение:

f(x) = 3x^3 + 8

Для нахождения производной функции f(x) по её определению нужно использовать следующую формулу:

f'(x) = lim(h -> 0) [f(x + h) - f(x)] / h

где lim означает предел, h -> 0 означает, что переменная h стремится к нулю.

Применяя эту формулу к функции f(x) = 3x^3 + 8, получим:

f'(x) = lim(h -> 0) [f(x + h) - f(x)] / h

f'(x) = lim(h -> 0) [3(x + h)^3 + 8 - (3x^3 + 8)] / h

f'(x) = lim(h -> 0) [3(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3) + 8 - 3x^3 - 8] / h

f'(x) = lim(h -> 0) [3x^3 + 9x^2h + 9xh^2 + 3h^3] / h

f'(x) = lim(h -> 0) [3x^3 / h + 9x^2h / h + 9xh^2 / h + 3h^3 / h]

f'(x) = lim(h -> 0) [3x^3 / h + 9x^2 + 9xh + 3h^2]

Теперь, когда h стремится к нулю, последний член 3h^2 также стремится к нулю. Мы можем проигнорировать его и продолжить вычисления:

f'(x) = lim(h -> 0) [3x^3 / h + 9x^2 + 9xh]

Теперь мы можем вынести общий множитель h из первого члена:

f'(x) = lim(h -> 0) [3x^3 / h] + lim(h -> 0) [9x^2 + 9xh]

Первый предел можно вычислить с помощью правила Лопиталя, так как он имеет вид 0/0:

f'(x) = lim(h -> 0) [9x^2 + 9xh]

Теперь мы можем подставить h = 0 и получить окончательный ответ:

f'(x) = 9x^2 + 0 = 9x^2

Таким образом, производная функции f(x) = 3x^3 + 8 равна 9x^2.