В правильной четырехугольной призме угол между диагональю и плоскостью основания равен 30 градусам. Боковое ребро 5см. Найдите диагональ основания

Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов. Обозначим длину диагонали основания через $d$, а высоту призмы через $h$. Тогда угол между диагональю и боковым ребром равен $60^\circ$ (так как диагональ делит угол между боковым ребром и плоскостью основания пополам). Используя теорему косинусов для треугольника, образованного боковым ребром, диагональю основания и высотой, получаем:

$$d^2 = (5\text{ см})^2 + h^2 - 2 \cdot 5\text{ см} \cdot h \cdot \cos 60^\circ = 25\text{ см}^2 + h^2 - 5h.$$

Также из условия задачи следует, что угол между диагональю и плоскостью основания равен $30^\circ$, что означает, что высота призмы равна $h = d \cdot \sin 30^\circ = \frac{d}{2}$. Подставляя это выражение для $h$ в формулу выше, получаем:

$$d^2 = 25\text{ см}^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2 - \frac{5}{2}d.$$

Решая полученное квадратное уравнение, получаем:

$$d = \frac{5 + \sqrt{175}}{2} \approx 7.3\text{ см}.$$

Ответ: диагональ основания призмы равна около 7.3 см.