Найдите 𝑎, 𝑏 и 𝑐для параболы 𝑦=𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐,

если 𝑀 – её вершина, 𝑁 лежит на параболе и 𝑀(−1; 6), 𝑁(0; 4).

Так как 𝑀 является вершиной параболы, то координата 𝑥 вершины равна −𝑏/2𝑎. Из условия 𝑀(−1;6) следует, что −𝑏/2𝑎=−1, то есть 𝑏=2𝑎.

Также мы знаем, что точка 𝑁 лежит на параболе, то есть ее координаты должны удовлетворять уравнению параболы: 𝑦=𝑎𝑥^2+2𝑎𝑥+𝑐. Подставляя координаты 𝑁, получаем 4=𝑎⋅0^2+2𝑎⋅0+𝑐, то есть 𝑐=4.

Итак, у нас есть 𝑏=2𝑎 и 𝑐=4. Осталось найти 𝑎. Для этого воспользуемся координатой 𝑦 вершины параболы: 𝑦=𝑎(−1)^2+2𝑎(−1)+4=𝑎−2𝑎+4=4−𝑎. Так как 𝑀 является вершиной параболы, то ее координата 𝑦 равна 6. Значит, 6=4−𝑎, то есть 𝑎=−2.

Итак, мы нашли 𝑎=−2, 𝑏=2𝑎=−4 и 𝑐=4. Парабола имеет вид 𝑦=−2𝑥^2−4𝑥+4.