1. IABCD - равнобокая трапеция с боковыми сторонами АВ и CD, M - точка пересечения её диагоналей. О - центр описанной около ABCD окружности. Докажите, что точки А, В, М, О лежат на одной окружности.

Для доказательства этого утверждения мы воспользуемся теоремой о том, что если четырехугольник описан вокруг окружности, то сумма противоположных углов равна 180 градусам.

Рассмотрим четырехугольник ABOM. Он описан вокруг окружности, так как точки A, B, O лежат на одной окружности (это следует из того, что O - центр описанной около ABCD окружности, а стороны AB и CD являются параллельными диаметрами этой окружности).

Тогда сумма противоположных углов AMO и BMO равна 180 градусов. Но угол AMO равен углу CMD (так как AM является диагональю трапеции, а MD - ее основание), а угол BMO равен углу CMA (по той же причине).

Таким образом, получаем, что углы CMD и CMA в сумме дают 180 градусов. Но это означает, что точки А, В, М и С лежат на одной окружности, что и требовалось доказать.