Задание из высшей математики:

Найти все особые точки функции ((z-i)/(z+1))*cos(1/z), определить их тип, для полюса найти его порядок. Найти вычеты во всех особых точках и в бесконечно удаленной точке. Распишите пожалуйста подробно

Для начала найдем все особые точки функции ((z-i)/(z+1))*cos(1/z). Особые точки - это точки, в которых функция не определена или не является аналитической.

1. Найдем точки, в которых знаменатель равен нулю:
(z+1) = 0 => z = -1

2. Найдем точки, в которых знаменатель равен i:
(z-i) = 0 => z = i

Таким образом, у нашей функции две особых точки: z = -1 и z = i.

Теперь определим тип каждой из этих точек.

1. Точка z = -1 является полюсом первого порядка, так как знаменатель функции ((z-i)/(z+1)) обращается в ноль при z = -1, а числитель не обращается в ноль в этой точке.

2. Точка z = i является устранимой особой точкой, так как функция cos(1/z) аналитическая в этой точке, а числитель ((z-i)/(z+1)) не обращается в ноль в этой точке.

Теперь найдем вычеты во всех особых точках и в бесконечно удаленной точке.

1. Для точки z = -1 найдем вычет функции в этой точке. Для этого раскроем функцию в ряд Лорана в окрестности точки z = -1:

((z-i)/(z+1))*cos(1/z) = ((z-i)/(z+1))*(1 - 1/(2z^2) + 1/(4z^4) - ...) =

= (z-i)*(1 - 1/(2(-1+i)^2) + 1/(4(-1+i)^4) - ...) =

= (z-i)*(-1/8 + ...)

Вычет функции в точке z = -1 равен -1/8.

2. Для точки z = i вычет равен нулю, так как это устранимая особая точка.

3. Найдем вычет в бесконечно удаленной точке. Для этого заменим z на 1/w и рассмотрим функцию при w -> 0:

((1/w-i)/(1/w+1))*cos(w) = ((1-iw)/(w+1))*cos(w) =

= (1-iw)*(1 - 1/2w^2 + 1/24w^4 - ...) =

= (1 - 1/2w^2 + 1/24w^4 - ...) - i(w - 1/2w^3 + ...)

Вычет в бесконечно удаленной точке равен коэффициенту при 1/w, то есть равен 0.

Таким образом, мы нашли все особые точки функции ((z-i)/(z+1))*cos(1/z), определили их тип, нашли порядок полюса и вычеты в каждой из особых точек и в бесконечно удаленной точке.