Основанием прямой призмы является прямоугольник. Диагональ основания образует с меньшей стороной основания угол альфа. Диагональ призмы равна m и образует с плоскостью боковой грани угол бета. Найдите

площадь боковой поверхности призмы.

Рассмотрим треугольник, образованный диагональю основания и меньшей стороной прямоугольника. Из геометрии этого треугольника следует, что:

$$\sin{\alpha}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

где $a$ и $b$ - стороны прямоугольника.

Рассмотрим теперь боковую грань прямой призмы. Она является прямоугольным треугольником со сторонами $m$ и $h$, где $h$ - высота призмы. Из геометрии этого треугольника следует, что:

$$\sin{\beta}=\frac{h}{m}$$

Так как боковая грань является прямоугольным треугольником, то её площадь равна:

$$S_{\text{бок}}=\frac{1}{2}\cdot m \cdot h$$

Используя тригонометрические соотношения, можно выразить $h$ через $m$, $a$ и $\alpha$:

$$h=\frac{m}{\tan{\beta}}=\frac{m}{\tan{(90^{\circ}-\alpha-\beta)}}=\frac{m}{\frac{\cos{\alpha}+\cos{\beta}}{\sin{\alpha}}}=m\cdot\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}+\cos{\beta}}$$

Подставляя это выражение для $h$ в формулу для площади боковой поверхности, получим:

$$S_{\text{бок}}=\frac{1}{2}\cdot m\cdot m\cdot\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}+\cos{\beta}}=\frac{m^2\sin{\alpha}}{2(\cos{\alpha}+\cos{\beta})}$$

Таким образом, площадь боковой поверхности прямой призмы равна $\frac{m^2\sin{\alpha}}{2(\cos{\alpha}+\cos{\beta})}$.