По координатам вершин треугольника ∆ABC найти:

• уравнение линии BC ;

• уравнение высоты AK ;

• длину высоты AK ;

• уравнение прямой (l), которая проходит через точку A параллельно прямой BC ;

• уравнение медианы (AM ), проведенной через вершину A;

• угол (ϕ), образованный медианой, проведенной из вершины A, и стороной AB;

• площадь треугольника ABC ;

• периметр треугольника ABC .

Пример : A(1, 0), B(7, 3), C(4, 4)

Для решения задачи нам понадобятся следующие формулы:

- Уравнение прямой, проходящей через две точки: y - y₁ = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) * (x - x₁), где (x₁, y₁) и (x₂, y₂) - координаты точек.
- Уравнение прямой в общем виде: Ax + By + C = 0.
- Расстояние между двумя точками: d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²).
- Формула Герона для вычисления площади треугольника: S = √(p(p - a)(p - b)(p - c)), где p - полупериметр треугольника, a, b, c - длины сторон треугольника.
- Периметр треугольника: P = a + b + c.

Теперь решим задачу шаг за шагом.

1. Уравнение линии BC:

Найдем угловой коэффициент прямой BC: k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = (4 - 3) / (4 - 7) = -1/3.

Затем найдем коэффициент b: b = y - kx = 4 - (-1/3) * 4 = 5 1/3.

Таким образом, уравнение прямой BC имеет вид: y = -1/3x + 5 1/3.

2. Уравнение высоты AK:

Найдем угловой коэффициент прямой AK: k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = (4 - 0) / (4 - 1) = 4/3.

Так как высота AK проходит через точку A(1, 0), то ее уравнение имеет вид: y - 0 = 4/3(x - 1), то есть y = 4/3x - 4/3.

3. Длина высоты AK:

Найдем координаты точки пересечения высоты AK и стороны BC. Для этого решим систему уравнений:

y = -1/3x + 5 1/3,
y = 4/3x - 4/3.

Решением системы будет точка пересечения с координатами (3, 3).

Расстояние между точкой A(1, 0) и точкой пересечения (3, 3) будет равно длине высоты AK:

d(AK) = √((3 - 1)² + (3 - 0)²) = √18.

4. Уравнение прямой (l), которая проходит через точку A параллельно прямой BC:

Угловой коэффициент прямой BC равен -1/3, значит угловой коэффициент прямой (l) тоже будет равен -1/3.

Так как прямая (l) проходит через точку A(1, 0), ее уравнение будет иметь вид: y - 0 = -1/3(x - 1), то есть y = -1/3x + 1/3.

5. Уравнение медианы (AM), проведенной через вершину A:

Найдем координаты точки M - середины стороны BC. Для этого найдем среднее арифметическое координат x₂ и x₃, и среднее арифметическое координат y₂ и y₃:

x₂₃ = (7 + 4) / 2 = 5.5,
y₂₃ = (3 + 4) / 2 = 3.5.

Таким образом, координаты точки M равны (5.5, 3.5).

Угловой коэффициент медианы AM равен отношению координат y₂ и y₃: k = (y₃ - y) / (x₃ - x) = (4 - 0) / (4 - 5.5) = -8/3.

Так как медиана AM проходит через точку A(1, 0), ее уравнение будет иметь вид: y - 0 = -8/3(x - 1), то есть y = -8/3x + 8/3.

6. Угол (ϕ), образованный медианой, проведенной из вершины A, и стороной AB:

Медиана AM является биссектрисой угла BAC, значит угол BАM равен углу МАС. Так как треугольник ABC не является прямоугольным, то угол МАС можно найти с помощью теоремы косинусов:

cos(ϕ) = (AB² + AC² - BC²) / (2 * AB * AC) = (6² + 5² - 5.83²) / (2 * 6 * 5) ≈ 0.825.

Тогда угол ϕ равен arccos(0.825) ≈ 33.7°.

7. Площадь треугольника ABC:

Найдем длины сторон треугольника:

AB = √((7 - 1)² + (3 - 0)²) = √58,
AC = √((4 - 1)² + (4 - 0)²) = √26,
BC = √((7 - 4)² + (3 - 4)²) = √10.

Полупериметр треугольника равен: p = (AB + AC + BC) / 2 ≈ 12.91.

Тогда площадь треугольника ABC равна: S = √(p(p - AB)(p - AC)(p - BC)) ≈ 6.5.

8. Периметр треугольника ABC:

Периметр треугольника равен сумме длин его сторон:

P = AB + AC + BC ≈ 19.83.