Привести к каноническому виду уравнения кривых второго порядка

Найти:

1) оси, вершины, фокусы, эксцентриситет для эллипса;

2) оси, вершины, фокусы, эксцентриситет и асимптоты для гиперболы;

3) фокус, директрису, вершину для параболы.

(x^2)-4x-(3y^2)-6y-9=0

Для приведения к каноническому виду нужно выполнить следующие шаги:

1. Перенести свободный член в правую часть уравнения.

(x^2)-4x-(3y^2)-6y=9

2. Вынести коэффициент перед x и y за скобки.

(x^2-4x)-(3y^2+6y)=9

3. Добавить и вычесть из скобок постоянные числа, чтобы завершить квадратные выражения.

(x^2-4x+4)-4-(3y^2+6y+3)-3=9

4. Сократить выражения в скобках.

(x-2)^2-4-3(y+1)^2=9

5. Перенести константы в правую часть.

(x-2)^2/13-(y+1)^2/4=-1

Теперь уравнение имеет канонический вид.

1. Для эллипса:

- оси: ось x имеет длину 2sqrt(13), ось y имеет длину 2sqrt(4)=4;
- вершины: (2+sqrt(13), -1), (2-sqrt(13), -1), (2, -1+2)= (2, 1), (2, -1-2)=(2, -3);
- фокусы: f1=(2+sqrt(5), -1), f2=(2-sqrt(5), -1);
- эксцентриситет: e=sqrt(5/13).

2. Для гиперболы:

- оси: ось x имеет длину 2sqrt(13), ось y имеет длину 2sqrt(4)=4;
- вершины: (2+sqrt(13), -1), (2-sqrt(13), -1), (2, -1+2)= (2, 1), (2, -1-2)=(2, -3);
- фокусы: f1=(2+sqrt(17), -1), f2=(2-sqrt(17), -1);
- эксцентриситет: e=sqrt(17/13);
- асимптоты: y=x/2-5/2 и y=-x/2-1/2.

3. Для параболы:

- фокус: f=(2, -5/4);
- директриса: y=-3/4;
- вершина: (2, -1/4).